15、线性时间算法解决GaTEx图上的NP难题

线性时间算法解决GaTEx图上的NP难题

1. GaTEx图相关基础概念

GaTEx图是一类特殊的图，它可以由0/1标记的带环树（galled - trees）来解释，是cographs的自然推广。在研究GaTEx图时，我们会涉及到一些重要的概念和结构。

首先是标记函数 (t: V (N) \to {0, 1, \odot}) 的定义，对于所有 (w \in V (N))，有：
[
t(w) =
\begin{cases}
t_G(v) & \text{如果 } v \in V (T_G) \setminus P \
t_v(w) & \text{如果 } w \in V (N_v) \setminus X \text{ 对于某些 } v \in P
\end{cases}
]

对于GaTEx图，我们可以在线性时间内构造其pvr网络。并且，pvr网络 ((N, t)) 是一个带环树，它能够解释GaTEx图 (G)。同时，带环树 (N) 中的环 (C) 和图 (G) 的素模块 (M) 存在一一对应关系，我们将与素模块 (M) 对应的唯一环记为 (C_M)。

下面是关于环 (C) 的一些性质：
- 环 (C) 有唯一的根 (\rho_C) 和唯一的混合顶点 (\eta_C)。
- 混合顶点 (\eta_C) 恰好有一个子节点和两个父节点。
- 环 (C) 中除 (\eta_C) 外的所有顶点都有两个子节点和一个父节点。

具体来说，环 (C) 中除 (\eta_C) 和 (\rho_C) 外的所有顶点 (v) 有一个子节点 (v_1