8、带优先级假设的决策树近似

带优先级假设的决策树近似

在许多实际应用中，决策的制定往往需要考虑成本因素。传统的最优决策树问题旨在通过一系列行动来识别未知假设，同时最小化成本。然而，在实际情况中，行动的成本可能会依赖于真实的假设。本文将探讨如何解决这一问题，并提出一种分组贪心算法。

传统决策树问题与新挑战

传统的最优决策树问题在很多领域都有应用，比如主动学习、疾病或故障诊断等。以疾病诊断为例，医生会对患者进行一系列医学测试，通过排除与报告结果不一致的疾病，以最低成本确定病因。在这个过程中，医生需要策略性地选择测试序列，并考虑每个行动的成本。

以往的研究通常假设采取行动的成本是预先已知的，但在实际中，测试的后果可能会因真实疾病的不同而有所差异。例如，在疾病诊断中，如果真实假设是有毒化学物质暴露，与慢性疾病（如糖尿病）相比，几分钟的延迟可能会显著增加患者的死亡风险。又如，在检测欺诈性信用交易时，调查诚实交易的成本可能高于调查欺诈交易的成本。因此，开发一种成本依赖于真实假设的新模型至关重要。

新模型的构建

为了解决这个问题，我们将 $n$ 个假设根据其优先级水平划分为 $m$ 个组。我们假设对优先级较高的假设采取行动会产生更高的成本（或惩罚）。在疾病诊断的例子中，我们可以根据疾病的紧急程度对其进行优先级排序，使得紧急疾病的长时间等待成本更高。需要注意的是，在学习过程中，算法可能直到观察到真实假设才知道行动的成本。我们的目标是设计一个决策树，以最小化总成本。

问题定义

一个名为“带优先级假设的最优决策树（ODTH）”的问题实例定义为 $I = (H, G, A, c)$，其中：
- $H$ 是一组 $n$ 个假设。