16、现代密码学中的计算复杂性与代数基础

现代密码学中的计算复杂性与代数基础

1. 计算复杂性基础

计算复杂性是现代密码学的重要基础之一。我们从图灵可计算性的概念开始，它定义了可计算问题的类别。在这个类别中，问题可分为易解问题和难解问题。

易解问题能够在多项式时间内高效求解，可进一步分为确定性问题（在特定类别中）和非确定性问题（包含几个子类，称为概率多项式时间）。而难解问题则属于特定类别，尽管这类问题的成员资格在给定见证的情况下可以高效验证，但目前尚未找到能高效求解它们的算法，无论是确定性算法还是其他类型的算法。

在学习过程中，我们还引入了计算复杂性及其在现代密码学应用中的各种重要概念，这些概念在后续内容中会频繁使用：
- 高效算法 ：构建了几个重要的算法，并对其进行了精确的时间复杂度分析。
- 阶符号 ：用于描述算法的时间复杂度。
- 多项式可归约性 ：用于判断问题之间的难易关系。
- 可忽略量 ：在密码学中用于衡量某些事件发生的概率是否足够小。
- 上下界和非多项式界 ：帮助我们理解算法复杂度的范围。
- 不可区分性 ：在密码学中用于判断两个分布是否难以区分。

下面是一些相关的练习题及提示，通过这些练习可以加深对计算复杂性的理解：
1. 构造图灵机 ：构造一个图灵机来识别偶数整数，再构造一个识别能被 6 整除的整数的图灵机。提示：第二个机器可以使用一个操作表，将第一个