62、圆盘图的在线与离线距离约束标记算法

圆盘图的在线与离线距离约束标记算法

1. 引言

在处理圆盘图的 $L(p_1,\cdots,p_k)$ - 标记问题时，我们需要考虑不同的情况。当圆盘集合 $D$ 相互不相交时，对应的图 $G_D$ 没有边。这里我们主要探讨两种情况：一是圆盘表示不是输入的一部分；二是圆盘表示作为输入的一部分，但在算法执行过程中直径比 $\sigma(D)$ 未知。在这两种情况下，算法会用不同的标记来标记 $G_D$ 的所有顶点，否则新顶点可能会在已标记的顶点对之间创建长度为 2 的路径。

由于上述原因，我们主要考虑 $G_D$ 的圆盘表示 $D$ 是输入的一部分，且对应的直径比 $\sigma(D)$ 已知（即由常数 $\sigma\geq1$ 界定）的情况。接下来，我们将介绍一种特殊的单元循环标记方法，展示在线标记算法如何使用这种标记，推导其竞争比的上界，并证明该算法对于具有至少一条边的单位圆盘图类是渐近最优的。最后，我们将以距离约束 $(2, 1)$ 为例说明算法性能。

2. 循环标记

设 $D$ 是具有直径比 $\sigma(D)$ 的圆盘集合，$G_D$ 是对应的圆盘图。我们假设平面 $E$ 的坐标进行了缩放，使得最小圆盘的直径为单位直径。并且在本节中，我们假设直径比 $\sigma$ 和距离约束 $(p_1, \cdots, p_k)$ 是固定的，即对于这些参数的每一种选择，我们都设计一个特定的算法。

设 $C$ 是六边形单元的集合。如果映射 $\phi: C \to {1, 2, \cdots, l}$ 满足以下条件：
对于所有单元 $C, C’ \in C$ 和所有 $i \in {1, \cdots, k}$，有 $dist_