68、无向图中的循环和割集打包问题研究

无向图中的循环和割集打包问题研究

1. 循环打包问题的复杂度与近似算法

在图论中，循环打包问题是一个重要的研究方向。对于平面图的情况，我们可以通过将平面 3 - 可满足性（Planar 3 - Sat）问题归约到循环打包问题，来证明循环打包问题在平面图中的 NP 难度。

平面 3 - 可满足性问题涉及一个布尔公式 $\phi$，它以合取范式表示，其中每个子句恰好包含 3 个文字。设 $X = {x_1, \ldots, x_n}$ 为变量集合，$C = {c_1, \ldots, c_m}$ 为子句集合。构建一个二分图 $G_{\phi} = (X \cup C, E_{\phi})$，其中边集 $E_{\phi} = {xc : \text{变量 } x \text{ 出现在子句 } c \text{ 中}}$。当 $G_{\phi}$ 是平面图时，布尔公式 $\phi$ 被称为平面的。平面 3 - 可满足性问题就是要找到一个真值赋值，使得平面布尔公式中的所有子句都得到满足，且该问题是 NP 完全的。

由此可得定理：循环打包问题在最大度为 3 的平面图中是 NP 完全的。同时，作为推论，割集打包问题在平面图中是 NP 难的。

接下来，我们研究循环打包问题的近似算法。

1.1 基本贪心算法及其问题

基本贪心算法的思路是：反复选择解中长度最小的循环，并移除相关的边。然而，这种算法效果不佳。以向日葵图为例，向日葵图 $S$ 由一个核心循环 $C = v_1, \ldots, v_p$ 和 $p$ 个花瓣（即 $p$ 个循环 $P_i = v_i, u_{i1}, \ldots, u_{i(p - 2)}, v_{i +