42、计算几何中的高效算法：Delaunay 三角剖分拆分与多边形链迂回近似

计算几何中的高效算法：Delaunay 三角剖分拆分与多边形链迂回近似

在计算几何领域，Delaunay 三角剖分和多边形链迂回问题是重要的研究方向。Delaunay 三角剖分在地理信息系统、计算机图形学等领域有广泛应用，而多边形链迂回问题则在在线导航策略分析等方面具有重要意义。下面将详细介绍这两个问题的相关算法和性质。

Delaunay 三角剖分拆分

给定一组 $n$ 个点 $S$ 及其 Delaunay 三角剖分，对于将 $S$ 划分为两个不相交子集 $S_1$ 和 $S_2$ 的情况，可在 $O(n)$ 期望时间内计算出 $DT(S_1)$ 和 $DT(S_2)$。这一结论基于对 $deg_p(NN(p))$ 期望值的推导：
[
\begin{align }
E[\text{deg} p(NN(p))]&=\frac{1}{n}\sum {p\in R}\text{deg} p(NN(p))\
&\leq\frac{1}{n}\sum {p\in R}(\text{deg}(p) + \text{deg}(NN(p)))\
&\leq6 + \frac{1}{n}\sum_{p,q\in R,q = NN(p)}\text{deg}(q)\
&\leq6 + \frac{1}{n}\sum_{q\in R}(\text{deg} {NN}(q)\text{deg}(q))\
&\leq6 + \frac{1}{n}\sum {q\in R}(6\text{deg}(q)) \leq6 + 36 = 42