最长公共上升子序列

原创于 2024-09-17 20:15:00 发布 · 494 阅读

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#算法

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列 A和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 A 和 B 的长度均不超过 30003000。

输入格式

第一行包含一个整数 N，表示数列 A，B的长度。

第二行包含 N 个整数，表示数列 A。

第三行包含 N 个整数，表示数列 B。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

1≤N≤3000,序列中的数字均不超过 $2^{31}-1$

输入样例：

4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出样例：

最长上升子序列和最长公共子序列的结合，状态表示有所变化

状态表示：

集合：f[i,j] 表示所有在A[1…i]和B[1…j]中都出现过，且以B[j]结尾的公共上升子序列的集合

属性：最大值

状态计算：

请添加图片描述

所有在A[1…i]和B[1…j]中出现，且不包含A[i]就等价于倒数第二个数是B[k]

所有在A[1…i - 1] 和 B[1…j]中出现的公共上升子序列f[i - 1, j]

初步代码

  #include <iostream>
  #include <cmath>
  #include <algorithm>
  #include <cstdio>
  
  using namespace std;
  const int N = 3005;
  int a[N],b[N],n;
  int f[N][N];
  int main(){
      cin >> n;
      for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
      for(int j = 1; j <= n; j ++) cin >> b[j];
      
      for(int i = 1; i <= n; i ++){
          for(int j = 1; j <= n; j ++){
              f[i][j] = f[i - 1][j];
              if(a[i] == b[j]){
                  int maxv = 1;
                  for(int k = 1; k < j; k ++){
                      if(b[k] < b[j]){
                          maxv = max(maxv, f[i - 1][k] + 1);
                      }
                  }
                  f[i][j] = max(maxv, f[i][j]);
              }
          }
      }
      
      int res = 0;
      for(int i = 1; i <= n; i ++) res = max(res, f[n][i]);
      cout << res << endl;
      return 0;
  }

优化

现在数据范围是3000，肯定过不了需要优化，我们只能优化掉k层

k层的作用就是找到B[j]前面的B[k]对应的f[i - 1,k] + 1的最大值

但是这样我们每有一个新的j就会从头开始遍历一次寻找最大值，这样我们就多了很多重复的操作。我们可以用类似前缀和的思想将我们所求到的前几个的最大值存起来，这样添加新的j 就只用和maxv比较，不用所有都遍历了。所有的j公用maxv变量，所以就可以将maxv提到前面去。
优化版本

  #include <iostream>
  #include <cmath>
  #include <algorithm>
  #include <cstdio>
  
  using namespace std;
  const int N = 3005;
  int a[N],b[N],n;
  int f[N][N];
  int main(){
      cin >> n;
      for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
      for(int j = 1; j <= n; j ++) cin >> b[j];
      
      for(int i = 1; i <= n; i ++){
          int maxv = 1;
          for(int j = 1; j <= n; j ++){
              f[i][j] = f[i - 1][j];
              
              // 更新
              if(a[i] == b[j]){
                  f[i][j] = max(maxv, f[i][j]);
              }
              // 求前面最大的
              if(b[j] < a[i]){
                  maxv = max(maxv,f[i - 1][j] + 1);
              }
          }
      }
      
      int res = 0;
      for(int i = 1; i <= n; i ++) res = max(res, f[n][i]);
      cout << res << endl;
      return 0;
  }