洛谷 P1408 采药（背包问题应用）

最新推荐文章于 2025-12-22 09:47:08 发布

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文章标签：

#算法 #数据结构 #动态规划 #DP

这篇文章介绍了一个关于编程竞赛中的问题，辰辰面临的采药挑战，通过动态规划方法解决在给定时间内选择价值最大草药的问题。涉及的状态转移方程和背包问题的应用。

[NOIP2005 普及组] 采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$ （ $\le T \le 1000$ ）和 $M$ （ $\le M \le 100$ ），用一个空格隔开， $T$ 代表总共能够用来采药的时间， $M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$ ）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

【数据范围】

对于 $30%30\%$ 的数据， $\le 10$ ；
对于全部的数据， $\le 100$ 。

本题中和答案有关的元素只有两个，药的数量和采药总时间，又看到最大总价值，就很可能是DP 问题

状态表示：f[i][i]
*******集合：表示只考虑前i株草药且总时间为j的情况下所采草药的总价值
*******属性：最大值
t[i], w[i] 分别表示采第i株草药所需的时间和它的价值
状态计算：将f[i][j]分为两种情况（划分条件：第i株采了没）
****************采（条件：j > t[i]）：f[i][j] = f[i - 1][j - t[i]] + w[i]
****************不采：f[i][j] = f[i - 1][j]
二者取最大值

完整代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int T, M, t[110], w[110], f[110][1010];
int main() {
	cin >> T >> M;
	for (int i = 1; i <= M; i ++) {
		cin >> t[i] >> w[i];
	}

	for (int i = 1; i <= M; i ++) {
		for (int j = 1; j <= T; j ++) {
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			if (j >= t[i])
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - t[i]] + w[i]);
		}
	}

	cout << f[M][T] << endl;
	return 0;
}