洛谷 P1044 [NOIP 2003 普及组] 栈

从洛谷题解搜寻到的解法：

1、利用卡特兰数直接找到递推公式，计算前十八项答案

卡特兰数学习链接：卡特兰数学习链接

2、使用递归算法，在递归中使用记忆化方法存储已经找寻到过的情况（push、pop次数和相同&&栈内元素数量相同可以视作同一种情况，利用二维数组进行存储）

#include<iostream>

using namespace std;

int a[38][19];
int n;

int find(int x,int num) {
	int t = 0;
	if (x == 2 * n) {
		if (num == 0)return 1;
		else return 0;
	}
	if (a[x][num] != 0)return a[x][num];
	if (num <= n)t+=find(x + 1, num + 1);
	if (num > 0)t+=find(x + 1, num - 1);
	a[x][num] = t;
	return t;
}

int main() {
	cin >> n;
	cout<<find(0,0);
	return 0;
}

记忆化递归应用题目：

1、卡特兰数：题目均需利用卡特兰数的递推公式或动态规划思想求解。

​P1044	栈	Link	计算 n 个元素的出栈序列总数（卡特兰数模板题）。
​P1754	球迷购票问题	Link	n 名球迷拿 50 元，n 名拿 100 元，求合法排队方案数（卡特兰数）。
​P1641	生成字符串	Link	求满足前缀中 0 的个数不少于 1 的二进制字符串数（卡特兰数变形）。
​P2532	树屋阶梯	Link	用 n 个矩形搭建阶梯，求方案数（卡特兰数 + 高精度）。

2、路径计算问题：需用动态规划（DP）处理网格中的障碍物限制。

题号	标题	链接	简介
​P1002	过河卒	Link	棋盘上从起点到终点，避开马的控制点的路径数（经典网格 DP）。
​P1176	路径计数 II	Link	带障碍物的网格路径计数（动态规划 + 模运算）。
​P1436	棋盘分割	Link	8x8 棋盘分割成 n 块，求最小方差（路径思想的变形应用）。

3、背包问题：涵盖子集和、01背包、完全背包等经典变种。

号	标题	链接	简介
​P1048	采药	Link	01背包模板题：在时间限制内采药，最大化总价值。
​P1049	装箱问题	Link	子集和问题：将物品装入箱中，求剩余最小空间。
​P1616	疯狂的采药	Link	完全背包模板题：无限次采药，求最大价值。
​P1064	金明的预算方案	Link	依赖背包问题：主件和附件组合购买，求最优方案。

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​练习建议

1. ​卡特兰数：从模板题 ​P1044 入手，理解递推公式 C(n) = C(0)C(n-1) + C(1)C(n-2) + ... + C(n-1)C(0)。
2. ​路径计数：先解决 ​P1002，掌握网格 DP 的基本思路，再挑战带障碍物的 ​P1176。
3. ​背包问题：从 ​P1048​（01背包）和 ​P1616​（完全背包）开始，熟悉状态转移方程。

所有题目均可在洛谷题库中搜索题号直接提交，部分题目需注意数据范围（如高精度或取模要求）。