(dp)子序列的个数

题目出处:51nod
子序列的定义:对于一个序列a=a[1],a[2],......a[n]。则非空序列a'=a[p1],a[p2]......a[pm]为a的一个子序列,其中1<=p1<p2<.....<pm<=n。
例如4,14,2,3和14,1,2,3都为4,13,14,1,2,3的子序列。对于给出序列a,有些子序列可能是相同的,这里只算做1个,请输出a的不同子序列的数量。由于答案比较大,输出Mod 10^9 + 7的结果即可。
输入

第1行:一个数N,表示序列的长度(1 <= N <= 100000)
第2 - N + 1行:序列中的元素(1 <= a[i] <= 100000)

输出

输出a的不同子序列的数量Mod 10^9 + 7。

输入示例

4
1
2
2

输出示例

13

AC代码:
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
const int mo = 1e9+7;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int have[maxn];
int main()
{
    //cout << -1 % 3 << endl;
    memset(have, 0, sizeof(have));
    int n;
    cin >> n;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    dp[0] = 1;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        dp[i] = (dp[i-1] * 2)% mo;
        if (have[a[i]] > 0)
        {
            dp[i] -= dp[have[a[i]]-1];//减完后,dp[i]的值有可能是负的(因为取余),结果溢出过。
            dp[i] = (dp[i]%mo+mo)%mo;
        }
        have[a[i]] = i;
    }
    cout << (dp[n]-1) % mo << endl;
    return 0;
}
顺便学学怎么用模了。
### 最长递增子序列个数算法实现 为了计算最长递增子序列个数,通常采用动态规划的方法。该方法的核心在于维护两个数组 `dp` 和 `count`: - **`dp[i]`** 表示以第 `i` 个元素结尾的最长递增子序列的长度。 - **`count[i]`** 表示以第 `i` 个元素结尾的最长递增子序列的数量。 以下是基于此思路的一个典型实现[^3]: ```cpp class Solution { public: int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) { int n = nums.size(); if (n == 0) return 0; vector<int> dp(n, 1); // 记录以每个位置结尾的最长递增子序列长度 vector<int> count(n, 1); // 记录以每个位置结尾的最长递增子序列数量 int maxLength = 1; // 当前已知的最大长度 for (int i = 1; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < i; ++j) { if (nums[j] < nums[i]) { // 如果当前元素大于之前的某个元素,则可能形成更长的递增子序列 if (dp[j] + 1 > dp[i]) { dp[i] = dp[j] + 1; // 更新长度 count[i] = count[j]; // 同时更新对应的计数值 } else if (dp[j] + 1 == dp[i]){ count[i] += count[j]; // 长度相等时累加计数 } } } maxLength = max(maxLength, dp[i]); // 更新全局最大长度 } int result = 0; // 总结所有具有最大长度的子序列数量 for (int i = 0; i < n; ++i){ if (dp[i] == maxLength){ result += count[i]; } } return result; } }; ``` #### 关键点解析 1. **状态转移方程** - 对于每一个元素 `nums[i]`,遍历其之前的所有元素 `nums[j]` (`j < i`) 来判断是否存在递增关系(即 `nums[j] < nums[i]`)。如果存在这样的关系,则尝试更新 `dp[i]` 的值以及相应的计数器 `count[i]`[^4]。 2. **时间复杂度分析** - 外层循环运行 `O(n)` 次,内层循环同样最多执行 `O(n)` 步骤,因此总体的时间复杂度为 \( O(n^2) \)[^5]。 3. **空间复杂度分析** - 使用了两个辅助数组 `dp` 和 `count`,它们的空间需求均为线性级别,故总空间复杂度为 \( O(n) \). ### 示例解释 假设输入序列为 `[1, 3, 5, 4, 7]`: - 初始状态下,`dp=[1,1,1,1,1]`, `count=[1,1,1,1,1]`. - 经过迭代处理后得到的结果如下所示: - `dp=[1,2,3,3,4]` - `count=[1,1,1,1,2]`. 最终返回结果应为 `2`,因为有两个不同的最长递增子序列:`[1, 3, 5, 7]` 和 `[1, 3, 4, 7]`[^3]. ---
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