CF 1654E - Arithmetic Operations（GOOD-2300）

原创

已于 2022-03-30 11:04:17 修改 · 518 阅读

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于 2022-03-28 12:59:43 首次发布

探讨了在给定数组中寻找最长等差数列的问题，通过枚举公差及利用时间复杂度优化技巧，实现了高效的算法解决方案。

在这里插入图片描述

思路

看到数据范围，应该想到 $nnn\sqrt{n}$ 的算法。
多变换出一些等价形式
首先，逆向过程，考虑没被修改的元素个数，由于一定大于等于2，因此数列最终公差一定产生于两个元素之间。
考虑枚举所有正数公差，当 $d > = 0$ 时（d<0只需要将数组反转按大于0求解）
对于每个给定的d，可以 $O (n)$ 求解数组中等差数列最长长度。对于等差数列的 $a_i,a_j,i<j$ ，一定有
$a_i - id = a_j - jd$
因此维护键值为 $ai−id,∀ia_i-id,\forall i$ 的桶，每遇到一个对应键值就将桶中的值加上1.最终桶中数量最大值就是答案
但如果枚举所有d，由于 $d < = 1 e 5$ 最终 $O (n d)$ 会超时，有无其他方法？当d较大时，考察数组中最终没变化的两个元素，其下标差距应该较小，因为d很大时，由于等式两侧的 $i d$ 和 $j d$ 占据主导地位，如果下标差距较大，那么等式不等的概率就很大！
考虑时间复杂度 $nnn\sqrt{n}$