拓扑排序的应用-有向无环图中的最长路径

最长路径问题

• 在一般的图中，最长路径问题不具有如最短问题一样的最优子结构属性（算法导论动态规划章节P218）
  • 在最长路径问题中，子问题是相关的
    • 求解一个子问题会对另一个子问题产生影响
  • 在最短路径问题中，子问题是无关的
    • 因此存在动态规划算法！
    • flody和Dijkstra都可以认为是动态规划算法
• $NP-hard$问题
• 但是，对于$directedacyclicgraph$来说，存在线性时间算法，即拓扑排序！

有向无环图中的最长路径问题-拓扑排序（类似关键路径问题）

• 关键路径AOE网中只有一个汇点
  • 但这里的图不一定只有一个汇点
• 适用于带权图

算法流程

• 使用BFS对所有结点进行拓扑排序
• 在拓扑排序过程中每当遇到一个结点(设为结点j)，更新从其出发的所有结点的dist值。对于从结点i出发的任意一条边(i,j)按如下方式进行更新:
  dist[j]←max{dist[j],dist[i]+weight(i,j)}dist[j] \leftarrow max\{dist[j],dist[i] + weight(i,j)\}dist[j]←max{dist[j],dist[i]+weight(i,j)}
• 最终取dist的最大值即可

例：leetcode-Longest Increasing Path in a Matrix

记忆化搜索

class Solution {

    //以i,j为起点的最长递增路径长度，保存到longest矩阵中
    public int DFS(int i,int j,int[][] longest,int[][] matrix,int[][] choice,int cur)
    {
        if(longest[i][j]!=0)
        {
            return longest[i][j];
        }
        longest[i][j] = 1;
        for(int[] c : choice)
        {
            if(i + c[0]>=0 && i+c[0]<matrix.length && j + c[1]>=0 && j+c[1]<matrix[0].length && matrix[i + c[0]][j + c[1]] > matrix[i][j])
                longest[i][j] = Math.max(longest[i][j],1 + DFS(i + c[0],j + c[1],longest,matrix,choice,cur));
        }
        return longest[i][j];
    }

    public int longestIncreasingPath(int[][] matrix) {
        //初始状态初始化为0
        int ans = -1;
        int[][] longest = new int[matrix.length][matrix[0].length];
        int[][] choice = new int[][]{{-1,0},{1,0},{0,1},{0,-1}};
        for(int i = 0;i<matrix.length;i++)
            for(int j = 0;j<matrix[0].length;j++)
            {
                ans = Math.max(ans,DFS(i,j,longest,matrix,choice,1));
            }
        return ans;
    }
}

有向无环图中的最长路径

• 对于矩阵中的每个格子将其看作一个结点
• 对于结点检查其相邻结点（即上下左右四个方向），如果相邻结点大于该结点，则从该结点到那个相邻结点连接一条边
• 问题转换为求图中的最长路径
• 显然这个图是有向无环图，使用上述的拓扑排序算法求解最长路径