假设检验（z-test）

题目：

We’re trying to test whether a new,low-fat diet actually helps obese people lose weight.100 randomly assigned obese people are assigned to group 1 and put on the low fat diet.Another 100 randomly assigned obese people are assigned to group 2 and put on a diet of approximately the same amount of food,but not as low in fat.After 4 months,the mean weight loss was 9.31 lbs. for group 1(s=4.67) and 7.40 lbs.(s=4.04) for group 2.

low-fat: $\bar{x_1}=9.31$ $s_1=4.67$
control: $\bar{x_2}=7.4$ $s_2=4.04$
$\bar{x_1}-\bar{x_2}=1.91$

对于“sampling distribution of difference of means”
期望：$\mu_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}$
方差：$\sigma_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}^2$
又有公式

$$\sigma_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}^2=\frac{\sigma_{x_1-x_2}^2} {n}$$
其中,$\sigma_{x_1-x_2}^2$ 为population的variance of difference

置信区间：
以95%的confidence interval为例：
因为是two-tails combine一共占5%，因此，需要在z-table中找到值为2.5%的，此时，z=1.96
此时，置信区间的意义就有了：
我们能说：
95% chance that $\mu_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}$ is within 1.96$\sigma_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}^2$ of 1.91.

接下来的事就是计算$\sigma_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}^2$，
上面提到的计算这个未知量的公式，此处并不能用，因为并没有一个sample是关于$x_1-x_2$的，因此，无法用单个sample的$s^2$来作为population的$\sigma^2$估计，再使用公式推出sampling distribution的$\sigma^2_{\bar{x}}$

而由已知量入手，

$$\sigma_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}^2=\sigma^2_{\bar{x_1}}+\sigma^2_{\bar{x_2}}\\ =\frac{\sigma^2_{\bar{x_1}}} {100} +\frac{\sigma^2_{\bar{x_2}}} {100}\\ = \frac{s^2_1} {100} +\frac{s^2_2} {100}\\\sigma_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}=0.617$$

最后，可以说成：
95% confidence interval for $\mu_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}$ 1.91 $\pm$ 1.21

假设检验：

先设定significance level=5%

null hypothesis: low-fat diet dose nothing.

$H_0:\mu_1-\mu_2=0 =>\mu_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}=0$
$H_1:\mu_1-\mu_2>0 =>\mu_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}>0$

首先，根据z-table找出5%的z值，为1.65

$$z={\frac{样本结果值-估计值} {\sigma_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}}}$$

$z*\sigma_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}+0=1.01805<\mu_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}=1.91$

因此拒绝假设

(其实分母原始写法为：

$$\sqrt{\frac{s^2} {n}}$$
)