CF 665F Four Divisors 1e11内素数个数(模板)

最新推荐文章于 2020-08-23 21:22:30 发布

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分类专栏： Codeforces 泛做数学 ------ 基础

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解决CF 665F题目的关键在于理解对于形如p*q的数，可以枚举较小的因子p（p≤√n），然后计算小于n/p区间内的素数数量。当n不超过10^11时，使用素数计数函数模板来确定该范围内素数总数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意:D(n)定义为[1..n]中有多少个数,其因子个数正好是4个.给出n,求出D(n),n<=1e11.

x的因子正好4个则除去1,x之外 n的因式分解形式中只能为p^3,p*q,(p,q为不同的素数).
可以直接枚举n以内p^3个数.

对于p*q形式枚举小的因子p(p<=sqrt(n) 则p<q的范围在<n/p之间求出这段区间内的素数个数即可.

n<=1e11 套用模板prime counting function求[1,n]内素数个数即可.

点击打开链接

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
#define MAXN 100
#define MAXM 100010
#define MAXP 666666
#define MAX 10000010
#define chkbit(ar, i) (((ar[(i) >> 6]) & (1 << (((i) >> 1) & 31))))
#define setbit(ar, i) (((ar[(i) >> 6]) |= (1 << (((i) >> 1) & 31))))
#define isprime(x) (( (x) && ((x)&1) && (!chkbit(ar, (x)))) || ((x) == 2))
using namespace std;
namespace pcf{
    long long dp[MAXN][MAXM];
    unsigned int ar[(MAX >> 6) + 5] = {0};
    int len = 0, primes[MAXP], counter[MAX];

    void Sieve(){
        setbit(ar, 0), setbit(ar, 1);
        for (int i = 3; (i * i) < MAX; i++, i++){
            if (!chkbit(ar, i)){
                int k = i << 1;
                for (int j = (i * i); j < MAX; j += k) setbit(ar, j);
            }
        }

        for (int i = 1; i < MAX; i++){
            counter[i] = counter[i - 1];
            if (isprime(i)) primes[len++] = i, counter[i]++;
        }
    }

    void init(){
        Sieve();
        for (int n = 0; n < MAXN; n++){
            for (int m = 0; m < MAXM; m++){
                if (!n) dp[n][m] = m;
                else dp[n][m] = dp[n - 1][m] - dp[n - 1][m / primes[n - 1]];
            }
        }
    }

    long long phi(long long m, int n){
        if (n == 0) return m;
        if (primes[n - 1] >= m) return 1;
        if (m < MAXM && n < MAXN) return dp[n][m];
        return phi(m, n - 1) - phi(m / primes[n - 1], n - 1);
    }

    long long Lehmer(long long m){
        if (m < MAX) return counter[m];

        long long w, res = 0;
        int i, a, s, c, x, y;
        s = sqrt(0.9 + m), y = c = cbrt(0.9 + m);
        a = counter[y], res = phi(m, a) + a - 1;
        for (i = a; primes[i] <= s; i++) res = res - Lehmer(m / primes[i]) + Lehmer(primes[i]) - 1;
        return res;
    }
}
ll solve(ll n)
{
	ll res=0;
	for(int i=0;i<pcf::len;i++)
	{
		ll x=pcf::primes[i],y=n/x;
		if(x*x>n)
			break;
		res+=(pcf::Lehmer(y)-pcf::Lehmer(x));	
	}
	for(int i=0;i<pcf::len;i++)
	{
		ll x=pcf::primes[i];
		if(x*x*x>n)
			break;
		res++;
	}
	return res;
}
int main()
{
	ll n;
	cin>>n;
	pcf::init();
	cout<<solve(n)<<endl;
	return 0;
}