向量点乘与叉乘

点乘 dot product
  点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。 
  向量a·向量b=|a||b|cos<a,b> 
  在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。 
  将向量用坐标表示(三维向量), 
  若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2), 
  则 
  向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

点乘可用于判断向量垂直

  判断条件:
  在向量a与向量b的模皆不为0的情况下,向量a·向量b=0
  由向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>可很容易的得出
  当|a| 、|b|皆不为0时,cos<a,b>为0
  也即向量a与向量b互相垂直。

关于用点乘判断向量平行的误区

  判断平行:
  向量a·向量b=|a|*|b|;
  而非向量a·向量b=1(×)
  由向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>可很容易的得出

叉乘 cross product


  叉乘,也叫向量的外积、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c。 
  |向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> 
  向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向)。 
  因此 
  向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b= - 向量b×向量a 
  在物理学中,已知力与力臂求力矩,就是向量的外积,即叉乘。 
  将向量用坐标表示(三维向量), 
  若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2), 
  则 
  向量a×向量b= 
  | i j k |
  |a1 b1 c1|
  |a2 b2 c2| 
  =(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1) 
  (i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量)。 
### Matlab 中向量的区别 #### (Dot Product) 的结果是一个标量值,表示两个向量之间的夹角余弦值大小。对于两个向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\),它们的定义如下: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos{\theta} \] 其中 \(|\mathbf{a}|\) 表示向量 \(\mathbf{a}\) 的模长,\(θ\) 是这两个向量间的夹角[^1]。 在 MATLAB 中实现操作非常简单。假设存在两个列向量 `A` 和 `B`: ```matlab C_dot = dot(A, B); ``` 此命令会返回一个数值结果代表 A 和 B 之间后的标量值[^3]。 #### (Cross Product) 不同于得到的是一个数,产生的新向量垂直于原来的两个输入向量所形成的平面,并且该矢量的方向遵循右手定则。其长度等于原两向量组成平行四边形区域的面积,具体表达式为: \[ |\mathbf{c}| = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\phi} \] 这里 \(\phi\) 表示由 a 到 b 方向上转过的最小角度。 同样,在 MATLAB 下执行可以使用内置函数 `cross()` 来完成。给定同样的向量 `A` 和 `B` : ```matlab C_cross = cross(A, B); ``` 这将生成一个新的三维向量作为输出,它既正交又指向特定方向[^2]。 通过上述对比可以看出,关注的是两个向量间的角度关系并给出相应强度;而更侧重描述空间位置变化以及由此带来的定向影响。
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