光流法四十年演进：从Horn-Schunck到RAFT的稠密匹配密度革命

Chapter 1 绪论：光流法的时空坐标系

1.1 从人类视觉到机器感知

当我们凝视一幅动态场景时，视网膜上不断刷新的并非离散的像素点，而是连续的光强流动场。这种生物视觉系统与生俱来的运动感知能力，在计算机视觉领域被抽象为"光流"（Optical Flow）——一个描述图像平面内像素级运动速度与方向的密集向量场。早在1981年，Horn与Schunck在《Determining Optical Flow》一文中便奠定了这一领域的数学基石[1]，其提出的平滑性约束与亮度恒定假设，至今仍在各类变分模型中回响。然而，从理论构想到工程落地，光流法经历了长达四十年的迭代演进，每一次技术跃迁都伴随着计算范式、优化目标与应用场景的根本性变革。

光流估计的本质是求解一个病态不适定问题（ill-posed problem）。单帧图像的二维投影丢失了深度信息，而运动物体的遮挡、光照突变与相机噪声进一步加剧了问题的复杂度。早期研究者试图通过施加物理合理的正则化约束来驯服这一病态性，而深度学习时代的来临则将数据驱动思想注入其中，使得模型从"手工设计"转向"自动学习"。2020年，RAFT（Recurrent All-Pairs Field Transforms）的提出标志着光流估计进入了一个新纪元——它摒弃了传统金字塔由粗到精的单向传播，转而采用循环神经网络在固定分辨率下进行迭代精修，将稠密匹配的密度与精度推向了前所未有的高度[2]。这一范式转变不仅刷新了KITTI与Sintel等权威榜单，更重要的是为实时视频稳定、自动驾驶、动作识别等下游任务提供了可部署的高性能解决方案。

1.2 光流法的数学本质

在数学层面，光流估计可形式化为能量最小化问题。设图像序列为I(x,y,t) ，像素在时间t 的位移为(u,v) ，则亮度恒定假设（Brightness Constancy Assumption）要求：

$$I(x,y,t) = I(x+u, y+v, t+1)$$

通过泰勒展开并忽略高阶项，得到线性化的光流约束方程：
$$I_x u + I_y v + I_t = 0$$

这是一个方程求解两个未知量的欠定系统，必须引入附加约束。Horn-Schunck采用全局平滑性假设，要求相邻像素运动一致[1]；Lucas-Kanade则在局部窗口内施加恒定运动约束[4]。这两种经典的变分框架构成了光流法的"古典时代"，其求解依赖于欧拉-拉格朗日方程或最小二乘法，计算复杂度为O(N) ，其中N 为像素总数。然而，这种手工设计的正则项在纹理缺失区域与运动边界处往往失效，导致过度平滑或错误估计。

进入深度学习时代，FlowNet首次将光流估计重构为监督学习问题[5]。通过构建大规模合成数据集FlyingChairs，网络直接从数据中学习从图像对到光流场的映射函数$$F_\theta: (I_1, I_2) \mapsto (u, v)$$ 。这一范式的核心优势在于特征表达的自动化——卷积神经网络能够捕捉多尺度、多层次的抽象特征，而非依赖人工设计的梯度算子。但早期端到端方法存在两个致命缺陷：一是对细小运动的捕捉能力不足，二是推理速度难以满足实时需求。SpyNet与PWC-Net通过引入金字塔结构与特征warping操作部分缓解了这些问题，但本质上仍属于"单次前馈"范式，缺乏对错误估计的修正机制。RAFT的革命性在于将光流估计视为一个迭代优化过程，利用门控循环单元（GRU）在4D相关体上进行多步查询与更新，每一步都以前一步的估计为初值进行精修，从而在固定分辨率下实现了亚像素级的精度[2]。

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Chapter 2 古典时代：变分法的璀璨登场

2.1 Horn-Schunck：正则化的开山之作

1981年，Berthold Horn与Brian Schunck在MIT人工智能实验室提出的变分模型，首次将光流估计转化为全局能量最小化问题。其核心贡献在于将亮度恒定方程与平滑性约束优雅地融合于同一泛函：

$$E(u,v) = \int\int \left[ (I_x u + I_y v + I_t)^2 + \alpha^2 (|\nabla u|^2 + |\nabla v|^2) \right] dxdy$$

其中第一项为数据项，惩罚违反亮度恒定的程度；第二项为正则项，强制光流场的空间平滑性。α 是权重系数，控制着平滑强度。通过变分法，该能量泛函的欧拉-拉格朗日方程导出如下PDE系统：

$$\begin{cases}
I_x(I_x u + I_y v + I_t) - \alpha^2 \nabla^2 u = 0 \\
I_y(I_x u + I_y v + I_t) - \alpha^2 \nabla^2 v = 0
\end{cases}$$

该方程组可通过Gauß-Seidel松弛法迭代求解，复杂度为每像素O(k) ，k 为迭代次数。尽管该方法在理论上优美，但实际应用中存在严重缺陷：在图像梯度趋近于零的区域（如均匀天空），数据项失效，完全依赖平滑项传播，导致运动边界模糊；而在运动不连续处，全局平滑假设被违背，产生"过度平滑"伪影。实验表明，在Sintel数据集上，Horn-Schunck的平均端点误差（EPE）高达3.8像素[6]，无法满足现代应用需求。

尽管如此，Horn-Schunck的数学框架为后续四十年研究提供了思想源泉。从Total Variation正则化到各向异性扩散，从L1范数到Charbonnier惩罚函数，几乎所有变分光流模型都可视为对其正则项的改进。图1展示了典型的Horn-Schunck估计结果，可见其在大面积平滑区域表现尚可，但在运动边界与细小结构处严重退化。

图1 Horn-Schunck在Sintel序列上的估计结果

2.2 Lucas-Kanade：局部约束的务实主义

几乎与Horn-Schunck同时期，Bruce Lucas与Takeo Kanade提出了另一种务实主义路径——在局部窗口内假设光流恒定，从而将欠定问题转化为超定最小二乘问题[4]。对于n×n 窗口内的N 个像素，构建线性系统：

$$
\begin{bmatrix}
I_x(p_1) & I_y(p_1) \\
\vdots & \vdots \\
I_x(p_N) & I_y(p_N)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}
= -
\begin{bmatrix} I_t(p_1) \\ \vdots \\ I_t(p_N) \end{bmatrix}
$$

简记为，其最小二乘解为。矩阵即为结构张量：

$$
\mathbf{A}^T\mathbf{A} = 
\begin{bmatrix}
\sum I_x^2 & \sum I_x I_y \\
\sum I_x I_y & \sum I_y^2
\end{bmatrix}
$$

该矩阵可逆性取决于窗口内梯度丰富度。当矩阵条件数较差时（如纹理缺失），解不稳定。Lucas-Kanade通过设置最小特征值阈值（通常为1.0）来拒绝不可靠估计，这使得算法在工程上更为鲁棒。OpenCV的calcOpticalFlowPyrLK正是该思想的实现，结合金字塔结构可处理大位移运动[7]。

然而，Lucas-Kanade的稀疏特性导致其在稠密光流估计中效率低下。虽然可逐像素滑动窗口计算，但相邻窗口高度重叠造成冗余计算。此外，小窗口假设（通常7×7）无法捕捉大尺度运动，而大窗口又违背运动恒定假设。这一矛盾催生了金字塔分层策略：在粗糙层估计大位移，再逐层精修。图2展示了金字塔光流的工作机制，但即便如此，该方法在细小结构与快速运动场景下仍显乏力。

图2 金字塔Lucas-Kanade的多尺度迭代机制

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Chapter 3 特征驱动：稀疏光流的黄金时代

3.1 金字塔结构与多尺度策略

为克服Lucas-Kanade的位移限制，Jean-Yves Bouguet提出了金字塔实现方案[7]。其核心思想是将图像构建为高斯金字塔，在顶层（低分辨率）估计大位移光流，然后将其作为下一层的初始值进行精修。假设金字塔层数为L ，顶层位移为，则底层位移为：

$$
(u_0, v_0) = \left( \sum_{l=0}^{L-1} 2^l u_l, \sum_{l=0}^{L-1} 2^l v_l \right)
$$

该方法将单次估计的最大位移从5-10像素扩展到2L×5 像素。OpenCV默认采用3层金字塔，理论最大位移达40像素。表1对比了不同金字塔层数在KITTI数据集上的表现，可见层数增加对EPE的改善在3层后趋于饱和，但计算时间线性增长。

表1 金字塔层数对Lucas-Kanade性能的影响（KITTI 2015）

金字塔层数	EPE（像素）	计算时间（ms）	最大位移（像素）	内存占用（MB）
1层	8.32	3.2	8	2.1
3层	5.17	9.8	32	6.8
5层	4.89	18.5	128	15.2
7层	4.91	35.7	512	32.4

数据来源：OpenCV 4.8.0在Intel i7-12700K上的实测性能[8]

值得注意的是，金字塔策略虽有效，但未能根本解决遮挡与光照变化的难题。在KITTI这类真实驾驶场景中，动态车辆的遮挡导致特征点频繁丢失，Lucas-Kanade的跟踪成功率低于60%[9]。这促使研究者转向特征描述子的构建，以期在更大外观变化下维持匹配稳定性。

3.2 从SIFT到ORB：特征描述子的效率革命

2004年，David Lowe提出的SIFT（Scale-Invariant Feature Transform）通过构建128维梯度直方图描述子，实现了对尺度、旋转与光照变化的鲁棒匹配[10]。然而，SIFT计算复杂度高（每特征点~1ms），且受专利保护。2011年，Rublee等人提出的ORB（Oriented FAST and Rotated BRIEF）通过二进制描述子与FAST角点检测，将速度提升两个数量级，同时保持相当的匹配精度[11]。ORB的旋转不变性通过灰度质心法计算主方向实现：

$$
\theta = \arctan2\left( \sum_{x,y} y \cdot I(x,y), \sum_{x,y} x \cdot I(x,y) \right)
$$

而BRIEF描述子在旋转后的坐标系中采样像素对，生成256位二进制串，汉明距离计算可借助SSE指令加速。表2展示了不同特征描述子在640×480图像上的性能对比，ORB在速度优势显著的情况下，匹配召回率仍能达到SIFT的85%以上[12]。

表2 特征描述子性能对比（640×480图像）

算法	检测时间（ms）	描述时间（ms）	匹配时间（ms）	召回率（%）	内存/特征（字节）
SIFT	45.2	78.3	23.1	92.3	128
SURF	28.7	42.5	18.7	88.1	64
ORB	3.2	1.8	2.3	78.5	32
BRISK	5.7	3.4	3.1	75.2	64

数据来源：基于OpenCV benchmarks的实测数据[12]

尽管特征描述子极大提升了稀疏光流的鲁棒性，但其稀疏性本质限制了在需要逐像素运动分析的场景（如视频稳定、场景流）中的应用。此外，特征检测-描述-匹配的三段式流程导致误差累积，匹配错误会直接影响运动估计精度。这一瓶颈在2015年被FlowNet打破，深度学习开始从底层重塑光流估计范式。

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Chapter 4 深度学习入侵：数据驱动的第一场雪

4.1 FlowNet：卷积网络的光流初啼

2015年，Dosovitskiy等人提出的FlowNet是深度学习光流的开山之作[5]。其核心洞察是将光流估计视为图像到图像的翻译问题：输入相邻两帧，输出BGR编码的光流图。FlowNet设计了两种架构——FlowNetS（简单编码解码）与FlowNetC（引入相关性层）。FlowNetC的相关性层通过计算特征图的内积，在顶层建立长距离对应关系：

$$
C(x_1, x_2) = \sum_{c} f_1(x_1, c) \cdot f_2(x_2, c)
$$

其中f1​,f2​ 为两帧的CNN特征图。这一操作在概念上类似于传统光流的相关性计算，但在学习到的特征空间中进行，对光照与外观变化更具鲁棒性。FlyingChairs数据集的合成方式为深度学习提供了大规模监督信号：通过随机变形椅子图像并记录像素位移，生成22,872对训练样本[5]。

然而，FlowNet的初啼并不完美。在Sintel基准上，FlowNetC的EPE为4.50像素，虽优于Horn-Schunck（8.3像素），但细节模糊、运动边界不清晰。更严重的是，FlowNet难以捕捉小位移运动——其编码器通过4次2×2池化将分辨率降至1/16，细小的运动信号在高层特征中被淹没。这催生了FlowNet 2.0的级联策略，通过堆叠多个FlowNet，用第一级估计粗光流，第二级在warp后的图像上预测残差，实现由粗到精的精修[13]。

FlowNet 2.0的级联设计虽然有效，但参数量高达162M，推理时间超过100ms，远未达到实时。此外，纯数据驱动忽略了光流的几何先验，导致在训练集分布外的场景泛化能力下降。这些问题催生了SpyNet与PWC-Net，它们试图在深度框架内重新引入经典金字塔思想。

4.2 SpyNet与PWC-Net：从粗到细的级联智慧

2017年，Ranjan与Black提出的SpyNet堪称深度学习对经典金字塔的致敬[14]。它显式构建图像金字塔，在每一层训练一个轻量级CNN（仅1.2M参数）预测残差光流：

$$
\Delta u_l = \text{CNN}_l(I_1^l, \text{warp}(I_2^l, u_{l+1}), u_{l+1})
$$

顶层光流上采样后作为下一层的初始值。这种设计将总计算量分散到多分辨率，每层网络极浅（2-3层），整体速度提升至30FPS。关键创新在于warping操作的引入——将第二帧按上一层光流变形后，残差光流的幅值显著减小，网络只需学习小位移修正，降低了学习难度。

与此同时，PWC-Net（Pyramid, Warping, and Cost Volume）进一步将相关性计算提升到可学习的特征空间[15]。它在每一层构建3D代价体（cost volume），通过计算特征相似性为光流估计提供显式匹配线索：

$$
\text{Cost}(u,v,x) = \langle f_1(x), f_2(x + (u,v)) \rangle
$$

代价体通过编码器-解码器结构聚合上下文信息，最终解码为光流。PWC-Net的参数量仅为8.7M，却在Sintel上达到了EPE 2.55的SOTA性能（截至2018年）。其成功验证了"显式几何操作+数据驱动"的混合范式——warping与cost volume是经典光流的灵魂，而CNN负责学习最优特征表达与解码策略。

然而，SpyNet与PWC-Net仍未摆脱金字塔的局限性：信息流仅从粗到精单向传播，高层误差无法在后续步骤中被修正。当顶层因大位移或遮挡估计错误时，错误会逐级放大。此外，每层独立训练导致次优的全局优化。RAFT通过打破金字塔层级、引入循环精修机制，彻底改变了这一局面。

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Chapter 5 迭代优化：RAFT的密度革命

5.1 GRU-based循环更新机制

2020年，Zachary Teed与Jia Deng提出的RAFT，将光流估计从"一次性预测"转变为"迭代精修"[2]。其核心架构包含三个模块：特征编码器、4D相关体构建与循环更新器。特征编码器使用卷积网络提取多尺度特征f1​,f2​ ，相关体通过密集的内积计算实现所有像素对之间的相似性度量：

$$
C(x_1, x_2) = \sum_{c=1}^{D} \frac{f_1(x_1, c)}{\|f_1(x_1)\|} \cdot \frac{f_2(x_2, c)}{\|f_2(x_2)\|}
$$

更关键的是，RAFT构建的是多层级4D相关体：在1/8、1/16、1/32分辨率下分别计算相关性，形成金字塔式的匹配线索。循环更新器基于门控循环单元（GRU），每一步执行：

$$
\begin{aligned}
h_i &= \text{GRU}(\text{concat}[f_1, C(f_1, f_2, flow_i), flow_i], h_{i-1}) \\
\Delta flow_i &= \text{Conv}(h_i) \\
flow_{i+1} &= flow_i + \Delta flow_i
\end{aligned}
$$

其中表示在当前光流位置处索引相关体，获取匹配特征。GRU的隐藏状态累积了历史信息，使得每一步都能基于前序结果进行更精细的修正。实验表明，经过12次迭代后，EPE从初始的5.2像素降至1.3像素，修正效果显著[2]。

图3 RAFT循环更新机制示意图

RAFT的密度革命体现在两个维度：空间密度与精度密度。空间上，它在1/8分辨率（对480p为60×40）下仍保持稠密估计，未使用早期池化；精度上，通过迭代累积亚像素级修正，最终EPE在Sintel clean上达到0.94像素（表3），首次突破1像素大关。这一精度足以支撑视频稳定、物体跟踪等严苛应用。

5.2 多尺度特征编码与4D相关体

RAFT的特征编码器采用残差结构，输出256通道的1/8分辨率特征图。4D相关体的计算复杂度为，直接实现不可行。RAFT通过局部相关与池化相关两级策略优化：首先在9×9局部窗口内计算密集匹配，得到H×W×81 的张量；然后通过3层池化（kernel=1,2,4,8）构建多尺度相关体，总计算量降至O(HW×81×4) ，在RTX 3090上仅需8ms。

图4 4D相关体构建与索引过程

这种设计使RAFT在继承经典相关匹配思想的同时，通过神经网络学习到的深度特征显著提升了匹配鲁棒性。与传统方法在RGB空间计算相关性不同，RAFT的特征空间经过端到端优化，对光照变化、运动模糊更具不变性。在KITTI数据集上，RAFT的Fl-all（光流异常值比例）仅为4.3%，远低于PWC-Net的7.8%[16]。

表3对比了RAFT与其前代算法在Sintel与KITTI上的性能，可见其在所有指标上均实现SOTA，尤其在细小结构（s40+）与快速运动区域优势明显。

表3 关键算法在Sintel与KITTI上的性能对比（EPE/Fl-all）

算法	Sintel Clean	Sintel Final	KITTI 2015 Fl-all	参数量(M)	推理时间(ms)
Horn-Schunck	3.84	4.12	35.7%	0	45
FlowNetC	2.19	3.79	28.3%	38.7	38
PWC-Net	1.70	2.55	7.8%	8.7	23
RAFT	0.94	2.04	4.3%	5.3	30
RAFT-8it	1.08	2.15	5.1%	5.3	18

数据来源：Sintel官方排行榜[17]与作者提供的预训练模型（截至2024年4月）

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Chapter 6 评测体系：benchmarks的进化论

6.1 KITTI与Sintel：合成到真实的跨越

光流算法的评测体系经历了从合成数据到真实场景的转变。早期的Middlebury数据集提供高密度真值，但场景简单、运动幅度小[18]。2012年，KITTI数据集引入真实驾驶场景，其激光雷达获取的稀疏真值（仅5%像素有标注）迫使算法关注大规模位移与遮挡处理[19]。2015年，Sintel数据集通过开源3D动画电影生成合成数据，提供完美真值与复杂光照、运动模糊，成为光流算法的试金石[20]。

KITTI的评测指标设计极具洞察力。除EPE外，Fl-all（光流异常值比例）更关注遮挡区域的鲁棒性。当某像素光流误差大于3像素且超过真值5%时，视为异常。这一设计惩罚了在困难区域（如道路边缘、车辆遮挡）表现差的算法。RAFT在KITTI上Fl-all达4.3%，意味着95.7%的像素估计准确，已接近实用门槛。

Sintel则提供Clean与Final两个版本。Final版包含运动模糊、大气效果与噪声，对算法的特征表达能力提出极致要求。RAFT在Final版上EPE为2.04像素，与Clean版的0.94相比增幅较小，证明其特征编码器对退化因素的鲁棒性。图5展示了RAFT在Sintel Final上的估计结果，可见其即使在模糊区域仍能捕捉细小结构的运动。

图5 RAFT在Sintel Final序列上的估计效果

6.2 误差度量：从EPE到Fl-all

端点误差（EPE）定义为估计光流与真值的欧氏距离：

$$
\text{EPE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sqrt{(u_i - u_i^{\text{gt}})^2 + (v_i - v_i^{\text{gt}})^2}
$$

EPE虽直观，但对大位移误差敏感且未考虑误差分布。Wang等人提出的区域EPE（regionEPE）按运动幅度加权，更公平评估不同速度区域[21]。此外，光流估计的时序一致性（temporal consistency）在视频应用中至关重要，Tao等人提出通过 warp 误差量化时序抖动[22]。表4展示了RAFT在不同运动幅度区域的EPE分布，可见其在慢速区域（0-10像素）精度达0.52像素，在高速区域（40+像素）仍保持3.21像素，证明其多尺度相关体的有效性。

表4 RAFT在不同运动幅度区域的EPE分解（Sintel Clean）

运动幅度（像素）	像素占比	EPE（像素）	异常值比例
0-10	45.2%	0.52	1.2%
10-20	28.7%	1.34	3.8%
20-40	18.3%	2.15	6.7%
40+	7.8%	3.21	12.4%

数据来源：Sintel官方评估工具输出[20]

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Chapter 7 工程实践：从文献到部署的鸿沟

7.1 实时性优化：TensorRT与模型剪枝

RAFT的30ms推理时间虽接近实时，但在240FPS高速相机或4K视频中仍显不足。工程优化的首要手段是TensorRT量化。通过校准数据集将FP32权重转为FP16，推理时间可降至18ms（表3中RAFT-8it），精度损失小于2%。更进一步，使用INT8量化需重新训练，引入量化感知训练（QAT），在损失函数中加入量化噪声：
$$
\mathcal{L}_{\text{QAT}} = \mathcal{L}_{\text{flow}} + \lambda \cdot \text{KL}(P_{\text{FP32}}, P_{\text{INT8}})
$$

其中P 为光流分布。实验表明，INT8可将时间压缩至12ms，但EPE上升0.3像素[23]。剪枝是另一路径，通过移除GRU中冗余连接（裁剪20%权重），在Sintel上EPE仅增加0.05像素，速度提升15%。

图6 TensorRT与PyTorch推理时间对比

7.2 移动端适配：MNN与Core ML

将RAFT部署到移动端需解决内存与算力双重约束。阿里MNN框架通过算子融合与Winograd卷积，将RAFT的5.3M参数量化后压缩至2.1M，在骁龙8 Gen2上实现28ms推理[24]。苹果Core ML则利用ANE（Apple Neural Engine）加速，通过mlcompute将PyTorch模型转为.mlmodel格式，在iPhone 14 Pro上达25ms。关键优化在于将4D相关体构建改为查找表（LUT），避免实时计算，内存占用从120MB降至45MB。

图7 RAFT在移动端推理的内存占用分解

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Chapter 8 未来展望：事件相机与NeRF的融合

8.1 事件相机的异步光流

传统相机以固定帧率采样，在高速运动下产生运动模糊。事件相机（如DAVIS346）异步输出亮度变化事件(x,y,t,p) ，时间分辨率可达1微秒，自然适合光流估计。Gallego等人提出基于事件的光流通过最大化时间表面（time surface）梯度的对比度来实现[25]：

$$
\text{maximize} \int \| \nabla I(\mathbf{x} + \mathbf{v}t, t) \|^2 dt
$$

该无监督方法在快速旋转场景下精度达0.5像素，但对噪声敏感。将RAFT的循环机制引入事件流，构建异步GRU单元，可进一步提升鲁棒性。最新工作EV-FlowNet通过事件体素网格化，将异步事件转为同步张量，再利用RAFT架构估计光流，在MVSEC数据集上EPE降至0.81像素[26]。

8.2 NeRF与光流的联合优化

神经辐射场（NeRF）从多视角图像学习3D场景表示，而光流提供帧间对应关系。将两者联合优化可提升新视角合成质量。Charatan等人提出SfM-NeRF，利用光流构建的代价体引导NeRF训练，在DTU数据集上PSNR提升1.8dB[27]。反之，NeRF渲染的中间视角可作为光流估计的额外监督，解决遮挡区域的歧义性。这一闭环优化是下一代三维视觉的重要方向。

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结论

从Horn-Schunck到RAFT，光流法经历了从手工正则化到数据驱动、从稀疏匹配到稠密迭代、从单次预测到循环精修的深刻变革。RAFT通过4D相关体与GRU更新器，在精度和速度上树立了新标杆。然而，事件相机的异步特性、NeRF的3D先验以及大模型的涌现能力，正推动光流法走向多模态融合与无监督学习的新纪元。工程实践表明，TensorRT量化与移动端适配已使RAFT走向生产，但实时性与精度的 trade-off仍需在特定场景中仔细权衡。未来，光流估计将不再孤立存在，而是作为感知-重建-决策闭环中的关键一环，在机器人、元宇宙与自动驾驶中持续发光发热。

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参考资料

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