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#期望 #dp

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本文介绍了一个关于在一个R*C的网格中，通过概率动态规划方法来计算从起点到终点所需魔力消耗的期望值的问题。文章提供了解题思路及完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：给一个R * C的格子，每个格子（i，j）到达（i，j）、（i，j+1）、（i+1，j）的概率分别为p1，p2，p3（p1+p2 +p3 = 1），每走一个格子需要花费的魔力为2，求从（1,1）走到（R,C）所需要魔力的期望。

解题思路：果然是个大水题啊~~ 很容易退出状态转移方程，不过有个小trick，就是当格子（i，j）的p1=1，即格子只能留在当前的格子处时，dp[i][j] = 0; 其他 dp[i][j] = ( p[i][j][2] * dp[i][j+1] + p[i][j][3] * dp[i+1][j] + 2) / (1- p[i][j][1])。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#define N 1024

double dp[N][N];
double p[N][N][4];

int  main()
{
    int r, c;
    while(~scanf("%d %d", &r, &c))
    {
        for(int i = 1; i <= r; i ++)
        {
            for(int j = 1; j <= c; j ++)
            {
                scanf("%lf %lf %lf", &p[i][j][1], &p[i][j][2], &p[i][j][3]);
            }
        }
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[r][c] = 0;
        for(int i = r; i >= 1; i --)
        {
            for(int j = c; j >= 1; j --)
            {
                if(i == r && j == c) continue;
                if(p[i][j][1] == 1)
                {
                    dp[i][j] = 0;
                    continue;
                }
                dp[i][j] = (p[i][j][2]* dp[i][j+1] + p[i][j][3] * dp[i+1][j] + 2)/ (1 - p[i][j][1]);
            }
        }
        printf("%.3lf\n", dp[1][1]);
    }
    return 0;
}