矩阵快速幂

矩阵快速幂

对于方阵 $M$，在计算其 $n$ 次幂 $M^n$ 时，传统的做法是，依次将 $n$ 个 $M$ 相乘，但是这样计算起来的效率并不高，时间复杂度为 $O(n)$，而矩阵快速幂可以加速矩阵幂的计算。

矩阵快速幂

原理
将 $n$ 转为二进制，$n=(b_k{b}_{k-1}...b_2{b}_1{b}_0{)}_2=b_k\cdot 2^k+b_{k-1}\cdot 2^{k-1}+...+b_2\cdot 2^2+b_1\cdot 2^1+b_0\cdot 2^0$，则
$$M^n=M^{b_k\cdot 2^k+b_{k-1}\cdot 2^{k-1}+...+b_2\cdot 2^2+b_1\cdot 2^1+b_0\cdot 2^0}=M^{b_k\cdot 2^k}\cdot M^{b_{k-1}\cdot 2^{k-1}}\cdot ...\cdot M^{b_2\cdot 2^2}\cdot M^{b_1\cdot 2^1}\cdot M^{b_0\cdot 2^0}\cdot$$

对于上面的式子，我们可以发现一些有用信息：

• 若 $b_i=0(0⩽i⩽k)$，则 $M^{b_i\cdot 2^i}=1$
• $(M^{2^i}{)}^2=M^{2^{i+1}}(0⩽i<k)$

计算过程

伪代码：

求 $M^n$，$n=(b_k{b}_{k-1}...b_2{b}_1{b}_0{)}_2$

• ① $result=\mathbb{E}\text{（单位矩阵）}$
• ② 从低位到高位遍历 $n$ 的二进制 $(b_k{b}_{k-1}...b_2{b}_1{b}_0{)}_2$
  • 若 $b_i=1(0⩽i⩽k)$，$result=result\ast M$
  • $M=M\ast M$
• ③ 遍历结束，返回 $result$

示例：

$M=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，$n=5$，求 $M^n$

• ① $result=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
• ② 从低位到高位遍历 $n$ 的二进制 $b_2{b}_1{b}_0=(101{)}_2$
  • $b_0=1$
    $$result=result\ast M=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$$$M=M\ast M=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$$
  • $b_1=0$
    $$M=M\ast M=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right]$$
  • $b_2=1$
    $$result=result\ast M=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}8& 5\\ 5& 3\end{array}\right]$$$$M=M\ast M=\left[\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}34& 21\\ 21& 13\end{array}\right]$$
• ③ 遍历结束，返回 $result=\left[\begin{array}{cc}8& 5\\ 5& 3\end{array}\right]$

算法

vector<vector<int>> matrixMultiple(const vector<vector<int>>& left,const vector<vector<int>>& right){
	int leftRows=left.size();
	int count=left[0].size();
	int rightColumns=right[0].size();
	vector<vector<int>> result(leftRows,vector<int>(rightColumns));
	for(int i=0;i<leftRows;++i){
		for(int j=0;j<rightColumns;++j){
			for(int k=0;k<count;++k){
				result[i][j]+=(left[i][k]*right[k][j]);
			}
		}
	}
	return result;
};

vector<vector<int>> matrixQuickPow(vector<vector<int>> m,int n){		//求方阵m的n次幂
	int rows=m.size();
	vector<vector<int>> result(rows,vector<int>(rows));
	for(int i=0;i<rows;++i){
		result[i][i]=1;
	}
	while(n>0){
		if(n&1){
			result=matrixMultiple(result,m);
		}
		n>>=1;
		m=matrixMultiple(m,m);
	}
	return result;
}

复杂度分析

求 $M^n$

• 时间复杂度：$O(\log n)$，原本要进行 $n-1$ 次矩阵乘法，使用矩阵快速幂后只用 ${\log }_2(n)$ 次。

矩阵快速幂的应用场景

有线性齐次递推式形如 $f(n)=\sum _{i=1}^m{a}_{i}f(n-i)$，我们就可以把这个递推式写成矩阵的形式，首先构造出一个矩阵 $M$，这是一个 $m\ast m$ 的方阵，一般情况下，可以令
$$M=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & a_{m-1}& a_m\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right]$$

然后可以得到 $f(n)=\sum _{i=1}^m{a}_{i}f(n-i)$ 的矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{c}f(n+1)\\ f(n)\\ f(n-1)\\ f(n-2)\\ ⋮\\ f(n-m)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & a_{m-1}& a_m\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n-1)\\ f(n-2)\\ f(n-3)\\ ⋮\\ f(n-m-1)\end{array}\right]$$$$=M\left[\begin{array}{c}f(n)\\ f(n-1)\\ f(n-2)\\ f(n-3)\\ ⋮\\ f(n-m-1)\end{array}\right]=M^2\left[\begin{array}{c}f(n-1)\\ f(n-2)\\ f(n-3)\\ f(n-4)\\ ⋮\\ f(n-m-2)\end{array}\right]=...=M^{j+1}\left[\begin{array}{c}f(n-j)\\ f(n-j-1)\\ f(n-j-2)\\ f(n-j-3)\\ ⋮\\ f(n-j-m-1)\end{array}\right]$$
若我们知道 $\left[\begin{array}{c}f(n-j)\\ f(n-j-1)\\ f(n-j-2)\\ f(n-j-3)\\ ⋮\\ f(n-j-m-1)\end{array}\right]$ 的取值，就可以使用矩阵快速幂求出 $M^{j+1}$，然后可以得到 $\left[\begin{array}{c}f(n+1)\\ f(n)\\ f(n-1)\\ f(n-2)\\ ⋮\\ f(n-m)\end{array}\right]$