矩阵快速幂求斐波那契数列（总结）

矩阵快速幂求斐波那契数列（总结）

 

第一部分：矩阵的基础知识

1.结合性 （AB)C=A(BC）．

2.对加法的分配性 （A+B)C=AC+BC，C(A+B）=CA+CB ．

3.对数乘的结合性 k(AB）=（kA)B =A(kB）．

4.关于转置 (AB)'=B'A'．

一个矩阵就是一个二维数组，为了方便声明多个矩阵，我们一般会将矩阵封装一个类或定义一个矩阵的结构体，我采用的是后者。（弱鸡的我也直只会用结构体实现）

 

第二部分：矩阵相乘

若A为n×k矩阵，B为k×m矩阵，则它们的乘积AB(有时记做A·B)将是一个n×m矩阵。前一个矩阵的列数应该等于后一个矩阵的行数，得出的矩阵行数等于前一个矩阵的行数，列数等于后一个矩阵的行数。

其乘积矩阵AB的第i行第j列的元素为：

 

举例：A、B均为3*3的矩阵：C=A*B，下面的代码会涉及到两种运算顺序，第一种就是直接一步到位求，第二种就是每次求一列，比如第一次，C00+=a00*b00,C01+=a00*b01……第二次C00+=a00*b10，C01+=a01*b11……以此类推。。。

C00 = a00*b00 + a01*b10 + a02*b20
C01 = a00*b01 + a01*b11 + a02*b21 
C02 = a00*b02 + a01*b12 + a02*b22
C10 = a10*b00 + a11*b10 + a12*b20
C11 = a10*b00 + a11*b11 + a12*b21
C12 = a10*b02 + a11*b12 + a12*b22
C20 = a20*b00 + a21*b10 + a22*b20
C21 = a20*b01 + a21*b11 + a22*b21
C22 = a20*b02 + a21*b12 + a22*b22
C00 = a00*b00 + a01*b10 + a02*b20
C01 = a00*b01 + a01*b11 + a02*b21 
C02 = a00*b02 + a01*b12 + a02*b22

 

下面先来实现一个矩阵相乘的函数吧。

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1. const int MOD=10000;  
2. struct mat  
3. {  
4.     int a[2][2];//这里数据范围就用小的示范  
5. };  
6. mat mat_mul(mat x,mat y)//实现两个矩阵相乘，返回的还是一个矩阵。  
7. {  
8.     mat res;//用来表示得到的新的矩阵；  
9.     memset(res.a,0,sizeof(res.a));  
10.     for(int i=0;i<2;i++)  
11.         for(int j=0;j<2;j++)  
12.         for(int k=0;k<2;k++)  
13.     {  
14.         res.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];  
15.         res.a[i][j]%=MOD;//这一步看题目具体需要了  
16.     }  
17.     return res;  
18. }  

 

 

学了