矩阵快速幂——从入门到放弃(看这一篇就够了)

Part 1: 矩阵的运算

矩阵有许多种运算，这里列举出其中最常用的三个。为了方便书写，假设参与运算的两个矩阵是$A,B$，表示运算结果的矩阵是$C$。

①矩阵加法。对于两个大小相同的矩阵，我们可以相加。

其中$C_{i,j}=A_{i,j}+B_{i,j}$。

②矩阵减法。对于两个大小相同的矩阵，我们可以相减。

其中$C_{i,j}=A_{i,j}-B_{i,j}$。

③矩阵乘法。只要$A$的列数等于$B$的行数就可以相乘。

其中$C_{i,j}={\sum }_{i=1}^m{A}_{i,k}{B}_{k,j}$

换句话说，$C_{i,j}$表示对于$A$的第$i$行，$B$的第$j$列组成的两个长度相等的序列，对应位置相乘的值之和。

可以发现，矩阵乘法是有结合律与分配率的，但绝对没有交换律。

现在，可以说我们学会了许多种矩阵运算。现在，我们通过$4$道例题与许多练习题，对矩阵加深理解。

Part 2: 例题与讲解

例1. 斐波那契数列

Description

求斐波那契数列的第$n$项的值。由于答案可能过大，请将其对$10^9+7$取模。

$n＜2^{63}$。

Solution

显然，我们不能采用$O(n)$的线性递推解法。

那我们怎么办呢？先把递推的式子给写下来：

$f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$

现在，我们开始考虑用矩阵乘法来优化。即，我们考虑，如何从$[F_k$