线性代数基本公式结论简要总结(3)

本文总结向量空间的一些内容，由于向量空间的知识（子空间、矩阵的行列空间、空间的基、线性无关、空间维数、秩）在上一篇文章中已有很多介绍，因此本文着重回顾马尔科夫矩阵和傅里叶级数

马尔科夫（Markov）矩阵：
def:一个具有非负分量（元素）且各分量（元素）数值相加等于1的向量称为概率向量；马尔科夫矩阵又称随机矩阵，是各列向量均为概率向量的方阵

马尔科夫链：由一组概率向量序列 ${x_0,x_1,x_2...}$ 和一个随机矩阵P组成，且满足：
$x_1=Px_0,x_2=Px_1,x_3=Px_2,...$
可表示为如下一阶差分方程：
$x_{k+1}=Px_k,k=0,1,2,...$

上述 $x_n$ 常称为状态向量，它们表明概率向量序列中的各元素之间在空间或时间上存在关系，即马尔科夫过程：某个随机变量的状态仅取决于上一个变量的状态

马尔科夫矩阵有如下性质：
1.马尔科夫矩阵的幂仍然是马尔科夫矩阵
2.马尔科夫矩阵必有一个特征值为1，且其他所有特征值的绝对值小于1

上述两个性质直接产生了如下两个结论：
1.对于一个马尔科夫矩阵P，一定存在一个概率向量q，满足 $Pq=q$ ，这个概率向量q被称作稳态向量（或平衡向量），显然，它就是矩阵P值为1的特征值对应的特征向量
2.考虑前面提到的马尔科夫链 $x_{k+1}=Px_k,k=0,1,2,...$ ，若 $x_0$ 是任意一个起始状态，当k趋近于无穷时，{ $x_k$ }收敛于稳态向量q，这说明了初始状态对于马尔科夫链的长期行为没有影响。

显然，结论2的证明：把矩阵P做对角化（特征值分解）后，由于除了1之外其余特征值均小于1，很多幂次后趋于0，对角阵中仅剩下1起作用，乘积得到的也就是结论1中介绍的稳态向量q

傅里叶级数：
根据线性代数中子空间和基向量的理论，空间中任意向量可由该空间中的一组正交基唯一的线性组合得到。把傅里叶级数中的函数看做无穷维空间中的向量，频率从0到无穷大的正弦和余弦函数两两正交，一起构成了无穷维（函数）空间的一组正交基（函数正交，即定义域内（一个周期）两函数内积（积分）为0），傅里叶系数则是各个基函数（基向量）的权重。若要求某个系数，对表达式两边同时乘以这个基向量即可（与其余基向量乘积均为0，最后仅剩下要计算的这一项系数）