线性代数基本公式结论简要总结(3)

本文探讨了马尔科夫矩阵及其在马尔科夫链中的应用,介绍了马尔科夫矩阵的基本性质及稳态向量的概念,并通过傅里叶级数的视角解读了函数空间中的正交基向量。

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本文总结向量空间的一些内容,由于向量空间的知识(子空间、矩阵的行列空间、空间的基、线性无关、空间维数、秩)在上一篇文章中已有很多介绍,因此本文着重回顾马尔科夫矩阵和傅里叶级数

马尔科夫(Markov)矩阵:
def:一个具有非负分量(元素)且各分量(元素)数值相加等于1的向量称为概率向量;马尔科夫矩阵又称随机矩阵,是各列向量均为概率向量的方阵

马尔科夫链:由一组概率向量序列x0,x1,x2...x0,x1,x2...和一个随机矩阵P组成,且满足:
x1=Px0,x2=Px1,x3=Px2,...x1=Px0,x2=Px1,x3=Px2,...
可表示为如下一阶差分方程:
xk+1=Pxk,k=0,1,2,...xk+1=Pxk,k=0,1,2,...

上述xnxn常称为状态向量,它们表明概率向量序列中的各元素之间在空间或时间上存在关系,即马尔科夫过程:某个随机变量的状态仅取决于上一个变量的状态

马尔科夫矩阵有如下性质
1.马尔科夫矩阵的幂仍然是马尔科夫矩阵
2.马尔科夫矩阵必有一个特征值为1,且其他所有特征值的绝对值小于1

上述两个性质直接产生了如下两个结论:
1.对于一个马尔科夫矩阵P,一定存在一个概率向量q,满足Pq=qPq=q,这个概率向量q被称作稳态向量(或平衡向量),显然,它就是矩阵P值为1的特征值对应的特征向量
2.考虑前面提到的马尔科夫链xk+1=Pxk,k=0,1,2,...xk+1=Pxk,k=0,1,2,...,若x0x0是任意一个起始状态,当k趋近于无穷时,{xkxk}收敛于稳态向量q,这说明了初始状态对于马尔科夫链的长期行为没有影响。

显然,结论2的证明:把矩阵P做对角化(特征值分解)后,由于除了1之外其余特征值均小于1,很多幂次后趋于0,对角阵中仅剩下1起作用,乘积得到的也就是结论1中介绍的稳态向量q

傅里叶级数:
根据线性代数中子空间和基向量的理论,空间中任意向量可由该空间中的一组正交基唯一的线性组合得到。把傅里叶级数中的函数看做无穷维空间中的向量,频率从0到无穷大的正弦和余弦函数两两正交,一起构成了无穷维(函数)空间的一组正交基(函数正交,即定义域内(一个周期)两函数内积(积分)为0),傅里叶系数则是各个基函数(基向量)的权重。若要求某个系数,对表达式两边同时乘以这个基向量即可(与其余基向量乘积均为0,最后仅剩下要计算的这一项系数)

<think>嗯,用户问的是给定数据集D={(-1,0),(0,0),(1,1)},用最小二乘法学习得到的线性模型的斜率是多少,并且要用代码解决。首先,我需要回忆一下最小二乘法的原理和应用步骤。 首先,用户可能刚接触线性回归或者正在学习机器学习基础,需要解决一个简单的最小二乘问题。给定的数据集有三个点,分别是(-1,0)(0,0)(1,1)。用户想知道用最小二乘法拟合后的直线斜率。这个问题看起来是典型的线性回归问题,适合用最小二乘法求解。 接下来,我需要确认最小二乘法的数学推导是否正确。线性模型通常是y = wx + b,其中w是斜率,b是截距。对于最小二乘法,我们需要最小化预测值和真实值之间的平方误差之和。为了找到最优的w和b,通常需要解正规方程或者使用矩阵方法。 不过,用户可能只需要斜率w,所以是否可以不计算截距b?或者是否数据已经中心化?比如,数据点中的x值是否对称,可能会有助于简化计算。比如,给定的x值为-1, 0, 1,平均数是0,所以可能截距b就是y的平均数?因为当x均值为0时,截距b等于y的均值。这时候,斜率的计算可能会更简单,只需要计算协方差除以方差。 不过,这里可能需要更仔细地计算。先计算x和y的均值。x的平均值是(-1 + 0 + 1)/3 = 0。y的平均值是(0 + 0 + 1)/3 = 1/3 ≈ 0.333。接下来,计算协方差和方差。协方差是各个点(x_i - x_mean)(y_i - y_mean)的和,除以n-1或者n,这里样本量小,可能需要用n。而方差则是(x_i - x_mean)^2的和除以n。或者,正规方程中,斜率w的计算公式是sum((x_i - x_mean)(y_i - y_mean)) / sum((x_i - x_mean)^2)。 这里,我需要验证公式是否正确。根据最小二乘法的正规方程,当模型是y = wx + b时,最优的w和b可以通过以下公式计算: w = [n*sum(xy) - sum(x)sum(y)] / [n*sum() - (sum(x))²] b = [sum(y) - w*sum(x)] / n 不过,当x的均值是0时,计算会更简单。比如,这里的sum(x)是0,所以公式可以简化。在这种情况下,sum(x) = -1 + 0 +1 = 0,sum(y) = 0+0+1=1。sum(xy) = (-1*0)+(0*0)+(1*1)=1。sum() = (-1)^2 +0^2 +1^2=2。n=3。 代入公式,w的分子是3*1 -0*1=3,分母是3*2 -0^2=6,所以w=3/6=0.5。那斜率应该是0.5。这个时候截距b可以用[sum(y) -w*sum(x)]/n = [1 -0.5*0]/3=1/3≈0.333。所以线性模型是y=0.5x + 1/3。这时候用户的问题只问斜率,所以答案是0.5。但可能需要用代码来验证这个过程是否正确。 用户可能希望看到代码的实现,比如用Python的numpy库来计算,或者手动实现。比如,可以用numpy的polyfit函数,或者手动计算。例如,使用numpy.linalg.lstsq来解线性方程组。 现在考虑代码的实现。首先,将数据点转化为数组形式。x的数组是[-1,0,1],y的数组是[0,0,1]。然后,构建矩阵X,其中第一列是x,第二列是1,用于截距项。然后使用numpy.linalg.lstsq来求解系数。结果应该返回w和b,其中w是斜率,b是截距。或者,使用polyfit函数,设置阶数为1,返回的系数数组中的第一个元素是斜率,第二个是截距。 例如,使用numpy的代码可能如下: import numpy as np X = np.array([-1, 0, 1]).reshape(-1, 1) y = np.array([0, 0, 1]) model = np.polyfit(X.flatten(), y, 1) slope = model[0] print(slope) # 应该输出0.5 或者用线性代数方法: X_matrix = np.c_[X, np.ones(3)] # 添加一列1作为截距项 coefficients, residuals, rank, singular_values = np.linalg.lstsq(X_matrix, y, rcond=None) slope = coefficients[0] print(slope) # 0.5 两种方法都应该得到斜率为0.5,这与我之前的计算一致。 用户的需求是明确的,但可能需要确保自己理解正确。例如,数据点是否正确?是否输入无误?比如第三个点是(1,1),所以当x=1时,y=1,这看起来没问题。计算得出的斜率为0.5是正确的。 然后,用户可能需要代码的展示,以验证结果。所以,在回答中应该给出代码示例,并说明结果。此外,可能需要解释数学推导过程,让用户理解为什么斜率为0.5。 总结来说,这个问题的解决步骤是:数学推导计算斜率,然后通过代码验证结果。用户可能需要的是详细步骤的解释,或者直接的答案和代码。根据用户的问题,明确要求用代码解决,所以代码部分必不可少,同时可能需要简要的数学说明。</think>以下是使用**最小二乘法**求解线性模型斜率的详细步骤及代码实现: --- ### **数学推导** 1. **数据准备** 给定数据集$D = \{(-1,0),\ (0,0),\ (1,1)\}$,设线性模型为: $$ y = wx + b $$ 其中$w$为斜率,$b$为截距。 2. **均值计算** - $x$的均值:$\bar{x} = \frac{(-1) + 0 + 1}{3} = 0$ - $y$的均值:$\bar{y} = \frac{0 + 0 + 1}{3} = \frac{1}{3}$ 3. **协方差与方差** 斜率$w$的公式为: $$ w = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} $$ 代入数据计算: - 分子:$(-1-0)(0-\frac{1}{3}) + (0-0)(0-\frac{1}{3}) + (1-0)(1-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 0 + \frac{2}{3} = 1$ - 分母:$(-1-0)^2 + (0-0)^2 + (1-0)^2 = 1 + 0 + 1 = 2$ - 斜率:$w = \frac{1}{2} = 0.5$ --- ### **代码实现** 使用Python的`numpy`库直接求解: ```python import numpy as np # 输入数据 X = np.array([-1, 0, 1]).reshape(-1, 1) # 特征矩阵 y = np.array([0, 0, 1]) # 标签向量 # 最小二乘法拟合线性模型 coefficients = np.polyfit(X.flatten(), y, deg=1) slope = coefficients[0] print(f"最小二乘法求得的斜率为: {slope:.1f}") ``` **输出**: ``` 最小二乘法求得的斜率为: 0.5 ``` --- ### **分步解释** 1. **数据矩阵构建** 将特征$x$和标签$y$转换为NumPy数组,并确保维度匹配(`reshape(-1,1)`用于将一维数组转为列向量)。 2. **调用`np.polyfit`函数** - `deg=1`表示拟合一次多项式(即线性模型) - 返回的`coefficients`数组中,第一个元素是斜率$w$,第二个元素是截距$b$。 3. **验证结果** 通过数学公式和代码计算均得到斜率为$0.5$,证明结果正确。 --- ### **最终结论** 对于数据集$D$,最小二乘法的线性模型斜率为 **$0.5$**,完整模型为: $$ y = 0.5x + \frac{1}{3} $$
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