数据的归一化与标准化

机器学习中常见数据的归一化（normalization）和标准化（standardization），其实这二者的作用和处理方法都很相似，本文作简单介绍。

两者的基本作用是消除不同变量之间量纲的影响，方便数据处理。在机器学习中的作用是：

1. 提高模型的收敛速度
假设某一模型包含两个特征$x_1,x_2$，$x_1$数值很大，而 $x_2$数值很小，两者的取值在平面上呈现一个狭长的椭圆形，这使得在梯度下降时，梯度的方向因为垂直等高线而走“之”字形路线，这会使迭代很慢。相反若两个变量取值对称性较好，构成圆形，则每一次迭代时梯度都会朝着正确的方向下降，避免走弯路，加快了收敛速度。

2.提高模型精度
在涉及到度量计算时，显然变量的数值量级差异会产生很大影响。例如：若$x_1$取值范围较小，对于度量计算的结果显然比$x_2$小，这就会造成精度的损失。因此归一化和标准化会让各个特征在对应权重相同时，自身的单位数值对结果做出的贡献相同。

下面简述归一化和标准化在处理方法上的差异。

归一化
做法：将原始数据映射到[0,1]区间。

常用方法：

1.min-max归一化

$$x_i^{'} = \frac{x_i-x_{min}}{x_{max}-x_{min}}$$
该方法是线性映射，最为直观快捷，但新增数据时可能需要更新最大值或最小值，而且受极端样本影响大，鲁棒性差，适合对小样本分析。

2.对数函数转换

$$x^{'} = \frac{log_{10}x}{log_{10}x_{max}}$$

3.反正切函数转换

$$x^{'} =\frac{2arctan(x)} {\pi}$$

4.L2-norm归一化

$$x^{'} = \frac{x}{||x||_2}$$

标准化
做法：将原始数据映射到一个较小的特定的范围内，映射后的数据均值为0，标准差为1。

常用方法：

1.z-score标准化

$$x^{'} = \frac{x-\mu}{\sigma}$$
最常用的标准化方法，该方法要求原始数据的分布近似为高斯分布，否标标准化的效果较差。样本数越多效果越稳定，比较适合对大数据分析。也常用在对数据降维操作（PCA等）之前。

2.Decimal scaling小数定标标准化

$$x^{'} = \frac{x}{10^j}$$
其中，$10^j$为大于样本最大值绝对值的最小满足条件的值。

该方法通过移动数据的小数点位置来进行标准化。小数点移动多少位取决于样本最大值的绝对值。

3.Logistic\softmax变换

$$x^{'} =\frac{1}{1+e^{-x}}$$
这也就是sigmoid函数，两极分化的分布便于做数据的二分类。当然若要实现多分类，也可用softmax函数做标准化变换：
$$x^{'} = \frac{e^x}{\sum_{i}^{n}{e^x_i}}$$