BZOJ 5130([Lydsy12月赛]字符串的周期-最小表示法+kmp)

最新推荐文章于 2024-08-11 21:46:22 发布

nike0good

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分类专栏： KMP 最小表示法

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本文探讨了如何计算一个字符串的最短周期及其期望值，通过KMP算法找到字符串的最短循环节长度，并利用递归深度优先搜索来枚举所有可能的字符串组合，最终求得期望值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：一个串 T 是 S 的周期，当且仅当存在正整数 k，使得 S 是 T 重复 k 次的前缀，比如 abcd 是 abcdabcdab 的周期。
给定一个长度为 n 的字符串 S，请对于每个 i(1 ≤ i ≤ n)，求出 S 长度为 i 的前缀的最短周期的长度 peri，并计算 $f(S) =\Pi_{i=1}^n per_i$
如果这个串是从所有长度为 n，字符集为 m 的字符串中随机选取的，那么这个 f(S) 的值期望 E 应该是多少？输出E × m^n mod 998244353
$n<=12,m<=1e9$

用最小表示法表示一个串，长度为12的串最多有4213597个。
然后再对每个串做一遍kmp，最短循环节长度=n-Next[i]

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define ForkD(i,k,n) for(int i=n;i>=k;i--)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)
#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
#define Forp(x) for(int p=pre[x];p;p=Next[p])
#define Forpiter(x) for(int &p=iter[x];p;p=Next[p])  
#define Lson (o<<1)
#define Rson ((o<<1)+1)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a));
#define MEMI(a) memset(a,0x3f,sizeof(a));
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a));
#define MEMx(a,b) memset(a,b,sizeof(a));
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define F (998244353)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define vi vector<int> 
#define pi pair<int,int>
#define SI(a) ((a).size())
#define Pr(kcase,ans) printf("Case #%d: %lld\n",kcase,ans);
#define PRi(a,n) For(i,n-1) cout<<a[i]<<' '; cout<<a[n]<<endl;
#define PRi2D(a,n,m) For(i,n) { \
                        For(j,m-1) cout<<a[i][j]<<' ';\
                        cout<<a[i][m]<<endl; \
                        } 
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
ll mul(ll a,ll b){return (a*b)%F;}
ll add(ll a,ll b){return (a+b)%F;}
ll sub(ll a,ll b){return ((a-b)%F+F)%F;}
void upd(ll &a,ll b){a=(a%F+b%F)%F;}
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
} 
#define MAXN (20)
int n,m;
int a[MAXN];
ll ans=0,Next[MAXN];
ll A[MAXN]; //A(m,i)
ll work() {
//  PRi(a,n)
    Next[0]=0;
    int p=0;
    For(i,n) {
        while(p && a[p+1]!=a[i]) p=Next[p];
        if (p+1!=i&&a[p+1]==a[i]) ++p;
        Next[i]=p;
    }
//  PRi(Next,n)
    ll ret=1;
    For(i,n) (ret*=(i-Next[i]))%=F;
    return ret;
}
void dfs(int l,int p) {
    if (l>n) {
        upd(ans,mul(A[p],work() ));
        return;
    }
    For(i,p) {
        a[l]=i;
        dfs(l+1,p);
    }
    a[l]=p+1;dfs(l+1,p+1);
}
int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    A[0]=1;
    For(i,n) A[i]=A[i-1] * (m-i+1)%F;
    dfs(1,0);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}