BZOJ 5130([Lydsy12月赛]字符串的周期-最小表示法+kmp)

本文探讨了如何计算一个字符串的最短周期及其期望值,通过KMP算法找到字符串的最短循环节长度,并利用递归深度优先搜索来枚举所有可能的字符串组合,最终求得期望值。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题意:一个串 T 是 S 的周期,当且仅当存在正整数 k,使得 S 是 T 重复 k 次的前缀,比如 abcd 是 abcdabcdab 的周期。
给定一个长度为 n 的字符串 S,请对于每个 i(1 ≤ i ≤ n),求出 S 长度为 i 的前缀的最短周期的长度 peri,并计算 f(S)=Πni=1peri
如果这个串是从所有长度为 n,字符集为 m 的字符串中随机选取的,那么这个 f(S) 的值期望 E 应该是多少?输出E × m^n mod 998244353
n<=12,m<=1e9

用最小表示法表示一个串,长度为12的串最多有4213597个。
然后再对每个串做一遍kmp,最短循环节长度=n-Next[i]

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define ForkD(i,k,n) for(int i=n;i>=k;i--)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)
#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
#define Forp(x) for(int p=pre[x];p;p=Next[p])
#define Forpiter(x) for(int &p=iter[x];p;p=Next[p])  
#define Lson (o<<1)
#define Rson ((o<<1)+1)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a));
#define MEMI(a) memset(a,0x3f,sizeof(a));
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a));
#define MEMx(a,b) memset(a,b,sizeof(a));
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define F (998244353)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define vi vector<int> 
#define pi pair<int,int>
#define SI(a) ((a).size())
#define Pr(kcase,ans) printf("Case #%d: %lld\n",kcase,ans);
#define PRi(a,n) For(i,n-1) cout<<a[i]<<' '; cout<<a[n]<<endl;
#define PRi2D(a,n,m) For(i,n) { \
                        For(j,m-1) cout<<a[i][j]<<' ';\
                        cout<<a[i][m]<<endl; \
                        } 
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
ll mul(ll a,ll b){return (a*b)%F;}
ll add(ll a,ll b){return (a+b)%F;}
ll sub(ll a,ll b){return ((a-b)%F+F)%F;}
void upd(ll &a,ll b){a=(a%F+b%F)%F;}
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
} 
#define MAXN (20)
int n,m;
int a[MAXN];
ll ans=0,Next[MAXN];
ll A[MAXN]; //A(m,i)
ll work() {
//  PRi(a,n)
    Next[0]=0;
    int p=0;
    For(i,n) {
        while(p && a[p+1]!=a[i]) p=Next[p];
        if (p+1!=i&&a[p+1]==a[i]) ++p;
        Next[i]=p;
    }
//  PRi(Next,n)
    ll ret=1;
    For(i,n) (ret*=(i-Next[i]))%=F;
    return ret;
}
void dfs(int l,int p) {
    if (l>n) {
        upd(ans,mul(A[p],work() ));
        return;
    }
    For(i,p) {
        a[l]=i;
        dfs(l+1,p);
    }
    a[l]=p+1;dfs(l+1,p+1);
}
int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    A[0]=1;
    For(i,n) A[i]=A[i-1] * (m-i+1)%F;
    dfs(1,0);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}
### BZOJ1461 字符串匹配 题解 针对BZOJ1461字符串匹配问题,解决方法涉及到了KMP算法以及树状数组的应用。对于此类问题,朴素的算法无法满足时间效率的要求,因为其复杂度可能高达O(ML²),其中M代表模式的数量,L为平均长度[^2]。 为了提高效率,在这个问题中采用了更先进的技术组合——即利用KMP算法来预处理模式,并通过构建失配树(也称为失败指针),使得可以在主上高效地滑动窗口并检测多个模式存在情况。具体来说: - **前缀函数与KMP准备阶段**:先对每一个给定的模式执行一次KMP算法中的pre_kmp操作,得到各个模式对应的next数组。 - **建立失配树结构**:基于所有模式共同构成的一棵Trie树基础上进一步扩展成带有失配链接指向的AC自动机形式;当遇到某个节点不存在对应字符转移路径时,则沿用该处失配链路直至找到合适的目标或者回到根部重新开始尝试其他分支。 - **查询过程**:遍历整个待查文本序列的同时维护当前状态处于哪一层级下的哪个子结点之中,每当成功匹配到完整的单词就更新计数值至相应位置上的f_i变量里去记录下这一事实。 下面是简化版Python代码片段用于说明上述逻辑框架: ```python from collections import defaultdict def build_ac_automaton(patterns): trie = {} fail = [None]*len(patterns) # 构建 Trie 树 for i,pattern in enumerate(patterns): node = trie for char in pattern: if char not in node: node[char]={} node=node[char] node['#']=i queue=[trie] while queue: current=queue.pop() for key,value in list(current.items()): if isinstance(value,int):continue if key=='#': continue parent=current[key] p=fail[current is trie and 0 or id(current)] while True: next_p=p and p.get(key,None) if next_p:break elif p==0: value['fail']=trie break else:p=fail[id(p)] if 'fail'not in value:value['fail']=next_p queue.append(parent) return trie,fail def solve(text, patterns): n=len(text) m=len(patterns) f=[defaultdict(int)for _in range(n)] ac_trie,_=build_ac_automaton(patterns) state=ac_trie for idx,char in enumerate(text+'$',start=-1): while True: trans=state.get(char,state.get('#',{}).get('fail')) if trans!=None: state=trans break elif '#'in state: state[state['#']['fail']] else: state=ac_trie cur_state=state while cur_state!={}and'#'in cur_state: matched_pattern_idx=cur_state['#'] f[idx][matched_pattern_idx]+=1 cur_state=cur_state['fail'] result=[] for i in range(len(f)-1): row=list(f[i].values()) if any(row): result.extend([sum((row[:j+1]))for j,x in enumerate(row[::-1])if x>0]) return sum(result) patterns=["ab","bc"] text="abc" print(solve(text,text)) #[^4] ```
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