<think>嗯，这个问题看起来是关于两只青蛙跳跃相遇的。我得仔细读题目，理解条件。题目大意是说，两只青蛙在同一条纬度线上，朝同一个方向（西）跳，纬度线是首尾相接的数轴，也就是环形。它们的起点分别是x和y，每次跳的距离是m和n米，每次跳的时间相同，问它们什么时候能碰到，或者不可能。
首先，我得把问题转化为数学问题。假设它们跳了t次后相遇，那么它们的位置应该满足某种条件。因为是环形，所以位置要考虑模L的情况。
青蛙A的位置在t次跳跃后的位置应该是x + m*t。青蛙B的位置是y + n*t。但由于是环形，实际的位置需要取模L。相遇的条件应该是这两个位置的差是L的整数倍，或者说它们的相对位置差是L的倍数。
不过因为方向相同，所以如果它们的速度不同的话，可能会有相遇的可能。或者可能永远追不上。例如，如果A比B跳得远，但初始位置在B后面，可能需要绕一圈才能追上。或者如果它们的速度差导致无法相遇，那就Impossible。
具体来说，我们需要找到t使得：(x + m*t) ≡ (y + n*t) mod L。也就是(m - n)*t ≡ (y - x) mod L。或者写成同余方程：(m - n)*t ≡ (y - x) (mod L)。这里的t必须是非负整数。
这个问题可以转化为求解线性同余方程a*t ≡ b mod L，其中a = m - n，b = y - x。不过要注意，这里的a可能为负数，需要处理。比如，如果a是负数，我们可以将方程两边取相反数，转化为正数的a。另外，如果a=0的话，这时候要看b是否也是0，否则无解。
所以，这个问题现在转化为求线性同余方程的解。根据数论中的知识，线性同余方程ax ≡ b mod m有解的条件是gcd(a, m)必须整除b。如果满足这个条件，那么解的形式是x ≡ x0 mod (m/d)，其中d是gcd(a, m)，x0是某个特解。否则无解。
这里我们的方程是a*t ≡ b mod L。所以需要计算d = gcd(a, L)，然后看d是否整除b。如果不行，则输出Impossible。否则，我们可以用扩展欧几里得算法来求出一个解t0，然后找到最小的正整数解。
需要注意的是，这里t必须是非负的，并且可能需要调整到最小的解。例如，当得到解t0后，通解是t0 + k*(L/d)，其中k是整数。我们需要找到最小的非负解。
那具体步骤应该是这样的：
1. 将问题转化为同余方程：(m - n)*t ≡ (y - x) mod L。
2. 计算a = m - n，b = y - x。
3. 处理符号问题：比如，如果a是负数，可以把方程两边同时乘以-1，得到正数的a，但需要调整b的符号。或者，直接在计算时处理。
4. 计算d = gcd(a, L)。如果d不整除b，则无解。
5. 否则，用扩展欧几里得算法求出方程a*t + L*k = b的整数解t0，其中k是另一个变量。
6. 根据扩展欧几里得的结果，找到t的通解，然后找到最小的正解。
不过这里可能需要特别注意模运算的处理。例如，在求解过程中，可能需要将解调整到合适的范围。比如，t0可能是一个负数解，需要通过加上(L/d)的倍数来得到正解。
此外，需要注意，当a=0时，也就是m=n的情况下，此时只有当x ≡ y mod L时，才会相遇，此时t=0。否则，如果x和y初始位置不同，且速度相同，那么它们永远无法相遇。这时候，如果初始位置已经相同（即x ≡ y mod L），则输出0次；否则，不可能。
那么具体来说，处理步骤如下：
首先，处理方程：
(m - n) * t ≡ (y - x) mod L
即求t使得该等式成立。我们需要找到最小的非负整数t。
令a = m - n，b = y - x，模数为L。所以方程变为a * t ≡ b mod L。
当a=0时：
如果b ≡ 0 mod L，那么t可以是0；否则，无解。
当a≠0时：
我们需要求解线性同余方程。这时候，需要计算d = gcd(a, L)。如果d不整除b，则无解。否则，可以通过扩展欧几里得算法找到解。
假设d | b，那么方程的解是t ≡ (b/d) * inv(a/d, L/d) mod (L/d)。其中inv表示模逆元。
或者，通过扩展欧几里得算法求出x和y，使得a*x + L*y = d，然后乘以(b/d)得到特解。
这里可能有点复杂，我需要回忆扩展欧几里得算法如何应用。
假设我们有方程ax + by = gcd(a,b)。扩展欧几里得算法可以求出x和y。在我们的情况，方程是a*t + L*k = b。这里的系数可能不是gcd，所以需要调整。
实际上，正确的步骤应该是：
方程a*t ≡ b mod L → a*t - L*k = b，其中k是整数。这可以转化为求解a*t - L*k = b的整数解t和k。根据贝祖定理，这个方程有解当且仅当gcd(a, L) | b。假设d = gcd(a, L)，则必须d | b才能有解。
此时，我们可以将方程两边除以d，得到 (a/d)*t - (L/d)*k = b/d。然后，我们可以找到方程(a/d)*t + (-k)*(L/d) = b/d的解。因为a/d和L/d是互质的，所以此时可以通过扩展欧几里得算法求出解。
例如，假设我们求出一个解t0，那么所有解的形式是t = t0 + k*(L/d)，其中k是整数。我们需要找到最小的非负t。
所以，步骤总结：
1. 计算a = m - n，b = y - x。
2. 如果a == 0：
- 如果b mod L == 0，则说明初始位置相同，输出0。
- 否则，输出Impossible。
3. 否则：
- 计算d = gcd(a, L)。
- 如果b % d !=0，则无解，输出Impossible。
- 否则，方程转化为：(a/d)*t ≡ (b/d) mod (L/d)。因为此时a/d和L/d互质，所以可以求逆元。
- 求出a/d的逆元inv，模数是L/d。这样t ≡ (b/d)*inv mod (L/d)。最小的正解即为这个结果，再调整到非负数。
但是如何用扩展欧几里得算法求这个解？
可能需要具体的例子来理解。比如，假设a=3，L=12，b=6。那么d=3。这时候方程是3t ≡6 mod12。等价于t≡2 mod4。所以解是t=2+4k，最小正解是2。
或者，比如样例输入是1 2 3 4 5，这可能不是正确的样例。但看问题中的Sample Input给出的是“1 2 3 4 5”，而Sample Output是4。这可能对应某个具体的输入，比如可能输入的x=1，y=2，m=3，n=4，L=5。但需要具体分析。
比如，原来的输入可能应该是x=1，y=2，m=3，n=4，L=5。那么a = m -n = -1。b= y-x=1。方程是-1 *t ≡1 mod5 →等价于t ≡-1 mod5 →t ≡4 mod5。所以最小的正解是4次，即输出4。
这说明在处理a为负数的时候，可能需要将方程两边乘以-1，得到正数的系数。例如，原方程是a*t ≡b mod L，其中a是负数。此时可以转化为等价方程 (-a)*t ≡ -b mod L，然后继续处理。这样可以让a变为正数，方便计算gcd。
或者，在计算gcd的时候，可以取绝对值。因为gcd(a, L)等于gcd(|a|, L)。这可能更方便。
因此，在处理a的时候，应该取其绝对值。例如：
d = gcd(|a|, L)
或者，在计算时，将a和b调整到正确的符号。
比如，原方程是a*t ≡ b mod L。如果a是负数，我们可以将方程改写为 (-a)*t ≡ -b mod L，此时新的a是正数，新的b是 -b。这样求解可能更简单。
或者，保持原方程不变，但在计算gcd的时候取绝对值。这样，在扩展欧几里得算法中，无论a的正负，都可以正确计算。
可能更简单的处理方式是，将a和b都除以它们的符号，使得a变为正数。比如，当a为负数时，方程等价于 (-a)*t ≡-b mod L。这时候，新的a是正数，新的b是 -b。然后继续处理。
例如，假设原方程是-3t ≡ 2 mod7。可以转换为3t ≡-2 mod7 →3t ≡5 mod7。然后解这个方程。
所以，在程序中，当a是负数时，我们可以让a = -a，b = -b，这样方程就变为正数的a。这可能更便于后续处理。
所以，处理步骤的调整：
在得到a = m -n，b = y -x之后：
如果a <0，那么将a = -a，b = -b。因为原方程等价于 (-a)*t ≡ (-b) mod L → a*t ≡b mod L（但原式是a*t ≡b mod L，现在可能需要注意符号）。
或者，原方程是a*t ≡b mod L。如果a是负数，那么将两边乘以-1，得到新的方程（-a）*t ≡-b mod L。这时候新的a是正的，新的b是 -b。这相当于将原方程转换为正数a的情况。
例如，原方程是：-5*t ≡3 mod 10 →5t ≡-3 mod10 →5t ≡7 mod10。此时，a=5，b=7，L=10。
所以，在程序中，可以这样处理：
当a <0时：
a = -a;
b = -b;
然后，继续处理。这时候，原方程变为a*t ≡b mod L。这不会改变解的情况，因为原方程等价于（a*t -b）≡0 mod L，调整后的方程是（a*t + (-b)）≡0 mod L。这可能需要注意符号，但正确的处理方式是，将方程转化为正系数的形式。
这样处理之后，后续的求解步骤可以统一处理a为正的情况。
接下来，当a=0的情况已经处理过了。否则，计算d = gcd(a, L)。如果b不能被d整除，则无解。否则，我们可以将方程两边除以d，得到新的方程：
(a/d)*t ≡ (b/d) mod (L/d)
因为此时a/d和L/d互质，所以存在逆元。我们需要求逆元。
所以，步骤：
计算d = gcd(a, L)
如果 (b % d) !=0 →Impossible
否则：
a' = a/d
L' = L/d
b' = b/d
求a'的逆元inv，使得 a' * inv ≡1 mod L'
则t0 = (b' * inv) mod L'
这时候，解为t0，但可能得到的是负数。需要取模得到最小的正数。
然后，我们需要找到最小的非负t，满足这个解。例如，t0可能是一个负数，这时候要加上L'的倍数，使其变为正数。
例如，假设t0 = -5，L'=10 →-5 mod10=5 →正确解是5.
所以，在程序中，应该计算t0 = (b' * inv) % L'
然后，这个t0就是最小的非负解。
但是需要注意的是，当inv是负数的时候，可能导致t0为负数。所以在取模时，要确保得到的是正余数。
所以，现在问题转化为如何求a'的逆元。这可以通过扩展欧几里得算法实现，或者用其他方法。
扩展欧几里得算法可以求出x和y，使得a'*x + L'*y = 1。因为a'和L'互质，所以存在这样的x和y。这里的x就是逆元。
所以，我们可以通过扩展欧几里得算法找到x的值，然后将x mod L'，以确保其是正数。
现在，我们需要编写扩展欧几里得算法的函数，返回gcd，以及x和y，使得a*x + b*y = gcd。
例如，函数exgcd(a, b)返回d, x, y，其中d是gcd(a,b)，x和y是系数。这样，当我们需要解a'x ≡1 mod L'时，可以调用exgcd(a', L')，得到x的值，然后调整到模L'的正数范围。
现在，将这些步骤综合起来，可以得到算法的大致流程：
输入x, y, m, n, L.
计算a = m -n
b = y -x
处理a的符号：
如果a <0 →a = -a，b = -b
处理模数L：
因为方程是mod L，所以当处理后的a是0的时候，判断b是否也是0 mod L。如果是，输出0；否则Impossible.
当a ==0的情况：
if (b % L ==0) →输出0
else →Impossible
否则：
d = gcd(a, L)
if (b % d !=0) →Impossible
else:
a' = a/d
L' = L/d
b' = b/d
求解a' * inv ≡1 mod L'
inv = mod_inverse(a', L') →可以用扩展欧几里得求得
t0 = (b' * inv) % L'
此时，t0是一个解，但可能不是最小的正解？
或者，可能已经是正确的解？
例如，在样例输入中：
假设输入是1 2 3 4 5。那么x=1，y=2，m=3，n=4，L=5.
那么a=3-4=-1 →处理为a=1，b =2-1=1 →变成b=-1= -1 ?
原方程是： (3-4)*t ≡ (2-1) mod5 →-1*t ≡1 mod5 →等价于1*t ≡-1 mod5 →t≡4 mod5。所以解是4，这是正确的。
这里处理后的a=1，b= -1。但原方程转换后的形式是a*t ≡b mod L →1*t ≡-1 mod5。即t≡4 mod5。解是4.
此时，d=gcd(1,5)=1。因为-1%1=0，所以可以解。
然后，a'=1/1=1，L'=5/1=5，b'= (-1)/1= -1.
求inv是1的逆元，即1的逆元是1 mod5.
t0= (-1)*1 mod5 →等于4 mod5 →4。正确。
所以，t0=4是正确的解。
所以，这个步骤是正确的。
另一个例子，假设x=0，y=0，m=1，n=1，L=10。那么初始位置相同，所以输出0次。
如果x=0，y=5，m=2，n=3，L=10。此时a=2-3=-1 →处理后a=1，b=5-0=5 →因为处理后b变为-5 →方程是1*t ≡-5 mod10 →即t≡5 mod10。所以解是5次。但是在这个情况下，青蛙A的位置每次是0+2*5=10→0 mod10。青蛙B的位置是5+3*5=20→0 mod10。确实相遇。
所以，步骤是正确的。
现在，如何编写代码？
首先，处理输入，读入x,y,m,n,L.
计算a = m -n
b = y -x
处理a的符号：
如果a <0:
a = -a
b = -b
当a ==0时：
if b mod L ==0 →输出0
else →输出Impossible
否则：
计算d = gcd(a, L)
if b %d !=0 →输出Impossible
else:
a' = a/d
L' = L/d
b' = b/d
使用扩展欧几里得算法求x，使得a'*x ≡1 mod L'
inv = x mod L' →确保是正数
t0 = (b' * inv) % L'
输出t0
但需要注意，求逆元的时候，必须a'和L'互质。因为此时a'和L'是互质的，所以逆元存在。
所以，问题中的关键是如何用扩展欧几里得算法求逆元。
扩展欧几里得算法实现：
例如，函数exgcd(a, b)返回d, x, y。其中d是gcd(a,b)，x和y满足a*x + b*y =d.
当a和b互质时，d=1，所以x是a的逆元模b。因此，对于我们的问题，当我们需要求inv是a'的逆元模L'，因为a'和L'互质，所以exgcd(a', L')得到的x就是逆元。不过需要注意的是，x可能为负数，所以需要调整到模L'的正数范围内。
例如，假设a'=3，L'=7。exgcd(3,7)返回1, -2, 1。因为3*(-2) +7*1=1。所以逆元是-2 mod7=5.
所以在代码中，inv = (x % L' + L') % L' →确保是正数。
所以，编写exgcd函数：
在C语言中，可以用递归或者迭代的方式实现。递归可能更容易实现。
例如：
int exgcd(int a, int b, long long *x, long long *y) {
if (b ==0) {
*x =1;
*y=0;
return a;
} else {
int d = exgcd(b, a%b, y, x); //交换x和y，因为a = b, b = a%b.
*y -= a/b * (*x);
return d;
}
}
注意，这里参数是int，但题目中的数值可能很大，需要用long long类型。所以可能需要用long long来处理参数，避免溢出。
例如，在本题的输入中，x和y可以是20亿，L可以是21亿。所以在处理过程中，中间结果可能会超过int的范围，必须用long long。
所以，在代码中，所有变量应该用long long类型。
例如，输入x, y, m, n, L都是long long类型。
exgcd函数应该处理long long参数。
所以，修改后的exgcd函数：
long long exgcd(long long a, long long b, long long *x, long long *y) {
if (b ==0) {
*x =1;
*y=0;
return a;
} else {
long long d = exgcd(b, a % b, y, x);
*y -= a / b * (*x);
return d;
}
}
这个函数返回的是gcd(a,b)，并设置x和y的值。
现在，当我们需要求逆元的时候，调用exgcd(a', L', &x, &y)。其中，x是a'的逆元模L'吗？
是的。因为 a'*x + L'*y =1 →模L'的话，得到a'*x ≡1 mod L'。所以x就是逆元。
因此，在代码中，在求解inv的时候：
调用exgcd(a_prime, L_prime, &x, &y)，其中a_prime = a/d，L_prime = L/d.
得到的x就是逆元。然后，将x mod L_prime，以确保是正数。
例如，如果x是负数，则x = x % L_prime + L_prime，然后再次mod L_prime。
或者，可以用inv = (x % L_prime + L_prime) % L_prime;
这样得到的就是最小的正整数解。
因此，在代码中：
long long a = m -n;
long long b = y -x;
处理a的符号：
if (a <0) {
a = -a;
b = -b;
}
if (a ==0) {
// 处理初始情况
if (b % L ==0) {
printf("0\n");
} else {
printf("Impossible\n");
}
} else {
long long d = exgcd(a, L, &x, &y); //这里的x和y是exgcd的解参数，可能不需要用到？
// 正确的做法是调用exgcd(a, L, &x0, &y0)，得到d= gcd(a,L)
// 然后检查是否d divides b.
if (b %d !=0) {
printf("Impossible\n");
} else {
long long a_prime = a /d;
long long L_prime = L /d;
long long b_prime = b /d;
// 求a_prime 的逆元 mod L_prime.
long long inv, tmp;
exgcd(a_prime, L_prime, &inv, &tmp);
inv = (inv % L_prime + L_prime) % L_prime;
long long t0 = (b_prime * inv) % L_prime;
// 此时t0是一个可能的解，但需要确保非负？
// 因为模运算的结果可能为0到L_prime-1.
printf("%lld\n", t0);
}
}
但这里可能存在一些问题，比如，当调用exgcd(a_prime, L_prime, &inv, &tmp)时，得到的inv是否是正确的逆元？
是的，因为此时a_prime和L_prime是互质的。所以exgcd返回的d=1，而inv是a_prime的逆元模L_prime.
所以，这样得到的t0就是解吗？
是的。例如，在样例输入中：
假设输入是x=1，y=2，m=3，n=4，L=5.
处理后的a = m-n=3-4=-1 →变为a=1，b= y-x=2-1=1 →变为b=-1.
进入else块：
d=exgcd(1,5, &inv, &tmp) →d=1. 此时inv=1，tmp=0.
因为1*1 +5*0=1.
所以，inv=1.
然后，a_prime=1/1=1. L_prime=5/1=5. b_prime= (-1)/1= -1.
inv= (1 %5 +5) %5=1.
t0= (-1 *1) mod5 →-1 mod5=4.
所以，输出4，正确。
另一个例子，比如a=3，b=6，L=12，d=3.
则处理后的a_prime=1，L_prime=4，b_prime=2.
求inv是1 mod4的逆元，即1.
t0=2*1 mod4=2. 正确。
那如果方程是3t ≡6 mod12 →等价于t≡2 mod4 →解是2,6,10,… 但这里的解是t0=2，是正确的。
因此，代码的处理是正确的。
但是，为什么在求解的时候，不需要考虑通解？例如，当通解是t0 +k*(L_prime)时，为什么直接输出t0？
因为此时方程的通解是t ≡t0 mod L_prime，所以t的最小非负解是t0 % L_prime，即已经处理过了。
例如，在之前的例子中，t0=4是正确的解。在其他情况下，比如t0= L_prime-1，那么是最大的解，但可能更小的？
不，因为模运算后的结果已经是0到L_prime-1之间的数，所以取模后的结果就是最小的非负解。
例如，当解是t0= L_prime*2 +3，取模得到3，所以输出3次。
因此，代码是正确的。
现在，需要处理所有的边界情况：
情况一：a=0的情况。此时，若b≡0 mod L，则输出0。否则，Impossible.
情况二：a≠0，但无法整除b →Impossible.
情况三：解存在，找到最小的非负解。
另外，必须注意数据类型的范围。输入中的x、y、m、n、L都可以达到2e9，所以在计算过程中，变量应该使用long long类型，避免溢出。
例如，在代码中，所有变量应声明为long long。输入时用%lld格式读取。
此外，在扩展欧几里得算法中，中间计算可能会溢出吗？例如，当a和b是很大的数值时，递归可能导致栈溢出？或者，在C语言中，可能要用非递归实现，但通常递归深度是O(log n)，所以对于2e9的数，递归深度不会太大，应该没问题。
综上，C语言代码的大致结构是：
读取x,y,m,n,L.
计算a = m -n，b= y -x.
处理a的符号：
如果a<0 →a=-a，b=-b.
如果a ==0:
if (b %L ==0) →输出0.
else →输出Impossible.
否则：
计算d = gcd(a, L).
如果b %d !=0 →输出Impossible.
否则:
a_prime = a/d;
L_prime = L/d;
b_prime = b/d;
调用exgcd(a_prime, L_prime, &inv, &temp).
inv = (inv % L_prime + L_prime) % L_prime;
t0 = (b_prime * inv) % L_prime;
输出t0.
这里的gcd计算需要正确，因为C语言标准库中没有gcd函数，需要自己实现。或者，可以用exgcd来求gcd，或者单独写一个函数。
或者，在exgcd函数中，返回的d就是gcd(a,b)。所以，当求gcd(a,L)的时候，可以用exgcd(a, L, &x, &y) →返回的d就是gcd(a,L).
但是，在代码中，我们可能不需要x和y的值，只需要d的值。或者，在计算d的时候，可以调用exgcd函数，传入临时变量x和y。
例如：
long long x0, y0;
long long d = exgcd(a, L, &x0, &y0);
这样，d就是gcd(a, L).
是的。
综上，C语言代码如下：
#include <stdio.h>
long long exgcd(long long a, long long b, long long *x, long long *y) {
if (b == 0) {
*x = 1;
*y = 0;
return a;
} else {
long long d = exgcd(b, a % b, y, x);
*y -= a / b * (*x);
return d;
}
}
int main() {
long long x, y, m, n, L;
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &L);
long long a = m - n;
long long b = y - x;
// 处理a的符号
if (a < 0) {
a = -a;
b = -b;
}
if (a == 0) {
// 青蛙速度相同
if (b % L == 0) {
printf("0\n");
} else {
printf("Impossible\n");
}
return 0;
}
// 求gcd(a, L)
long long x0, y0;
long long d = exgcd(a, L, &x0, &y0);
if (b % d != 0) {
printf("Impossible\n");
} else {
long long a_prime = a / d;
long long L_prime = L / d;
long long b_prime = b / d;
// 求a_prime的逆元 mod L_prime
long long inv, tmp;
exgcd(a_prime, L_prime, &inv, &tmp);
inv = (inv % L_prime + L_prime) % L_prime;
long long t0 = (b_prime * inv) % L_prime;
printf("%lld\n", t0);
}
return 0;
}
但是，在代码中，当调用exgcd(a, L, &x0, &y0)的时候，我们得到的是方程a*x0 + L*y0 =d的解。这可能与后续求a_prime的逆元无关？或者，这里是否正确？
不，当进入else块的时候，我们已经处理了a的符号，并且得到了d = gcd(a, L)。此时，我们需要求的是方程a_prime * t ≡ b_prime mod L_prime，其中a_prime和L_prime互质。
所以，正确的做法是，在else块中，求exgcd(a_prime, L_prime, &inv, &tmp)，因为此时a_prime和L_prime互质，所以inv是a_prime的逆元模L_prime.
但是在代码中，在计算d的时候，我们调用了exgcd(a, L, ...)，得到d=gcd(a,L)。然后，在else块中，已经将a_prime = a/d， L_prime=L/d。所以，此时a_prime和L_prime互质，所以它们的gcd是1.
因此，调用exgcd(a_prime, L_prime, &inv, &tmp)是正确的，得到的是inv是a_prime的逆元模L_prime.
例如，在样例输入中：
a=1，L=5.
d = gcd(1,5)=1.
a_prime=1/1=1.
L_prime=5/1=5.
exgcd(1,5, &inv, &tmp) →返回1，inv=1，tmp=0.
所以，inv=1 mod5=1.
这样，t0 = (b_prime)*inv mod L_prime.
其中，b_prime = b/d = (-1)/1= -1.
所以，-1 mod5=4. 所以 t0=4*1 mod5=4.
输出4，正确。
因此，代码是正确的。
但有一个疑问：在else块中，当处理完a和b之后，调用exgcd(a, L, &x0, &y0)来求gcd(a, L)，此时得到的x0和y0可能并不用于后续计算，对吗？是的。后续的逆元计算是针对a_prime和L_prime的，所以必须重新调用exgcd(a_prime, L_prime, ...).
这可能会导致两次调用exgcd，但这是必须的。
或者，是否可以找到一种方式，将所有的计算都通过一次调用完成？
例如，在第一次调用exgcd(a, L, x0, y0)时，得到方程a*x0 + L*y0 =d.
其中，d是gcd(a,L).
此时，方程a*x0 ≡d mod L → (a/d)*x0 ≡1 mod (L/d).
所以，x0是(a/d)的逆元模(L/d)吗？
是的。因为方程a*x0 + L*y0 =d →两边除以d得到：
(a/d)*x0 + (L/d)*y0 =1.
这说明 (a/d)*x0 ≡1 mod (L/d).
所以，x0就是(a/d)的逆元模(L/d).
因此，在代码中，是否可以利用第一次调用得到的x0来直接作为逆元？
例如，当d=gcd(a, L)时，且我们处理后的方程是a_prime*t ≡b_prime mod L_prime →其中 a_prime =a/d， L_prime =L/d.
则，此时a_prime的逆元是x0 mod L_prime.
因为x0是满足 a/d *x0 ≡1 mod L/d →是的。
因此，在代码中，可以省去第二次调用exgcd，直接使用第一次得到的x0，并调整其符号。
这可能更高效，因为不需要两次调用exgcd.
例如，在第一次调用exgcd(a, L, &x0, &y0)得到d后，x0是方程a*x0 +L*y0 =d的解。此时，除以d得到：
a/d *x0 + L/d *y0 =1.
所以，模L/d的话，a/d *x0 ≡1 mod L/d.
这说明x0是a/d的逆元 mod L/d.
因此，此时inv = x0 mod L/d.
所以，可以省去第二次调用exgcd，而直接使用x0的值。
那么，在代码中：
long long d = exgcd(a, L, &x0, &y0);
然后，在else块中：
long long L_prime = L/d;
long long inv = (x0 % L_prime + L_prime) % L_prime;
这样，inv就是a_prime的逆元，无需第二次调用exgcd.
这显然更高效，也更简单。
比如，在样例输入中：
第一次调用exgcd(1,5, &x0, &y0)得到d=1, x0=1，y0=0.
inv =1 mod5 →1.
同样正确。
另一个例子，假设a=3，L=12，d=3.
调用exgcd(3,12, &x0, &y0) →得到d=3。方程3x0 +12y0=3 →可能x0=1，y0=0 →x0=1.
a/d=1， L/d=4.
此时，x0=1 →inv=1 mod4=1.
所以，这样是正确的。
另一个例子，假设a=5， L=3，则d=1.
调用exgcd(5,3, &x0, &y0) →5和3的exgcd返回1，x0=-1, y0=2.
所以，inv = (-1) mod3=2.
此时，a/d=5, L/d=3 →5*x ≡1 mod3. 5 mod3=2 →2x≡1 mod3 →x=2. 所以，inv是2，而根据x0=-1 mod3=2，是正确的.
因此，这样处理是正确的。
因此，代码可以优化为：
在else块中：
不需要调用exgcd两次，直接使用第一次得到的x0，调整到mod L_prime.
因此，修改后的代码如下：
在else块中：
// 计算d = exgcd(a, L, &x0, &y0); 已经调用过
long long L_prime = L / d;
// inv是x0 mod L_prime
long long inv = (x0 % L_prime + L_prime) % L_prime;
long long t0 = ( (b/d) * inv ) % L_prime;
这样，就可以省去第二次调用exgcd的步骤。
这是更优的解决方案。因此，可以修改代码：
修改后的代码：
...
else {
long long x0, y0;
long long d = exgcd(a, L, &x0, &y0);
if (b % d !=0) {
printf("Impossible\n");
} else {
long long L_prime = L / d;
// x0是方程 a*x0 + L*y0 =d 的解。这里需要求a/d的逆元，即 x0 mod L_prime.
long long inv = (x0 % L_prime + L_prime) % L_prime;
long long t0 = ( (b / d) * inv ) % L_prime;
printf("%lld\n", t0);
}
}
...
这样，是否正确？
例如，在样例输入中：
d=1.
b= -1 →b/d= -1.
inv =x0=1 mod5=1.
t0 = (-1 *1) mod5=4.
正确。
另一个例子，假设a=5，L=3，b=2.
原方程是5t ≡2 mod3 →2t ≡2 mod3 →t≡1 mod3/ gcd(2,3)=1.
d=1.
调用exgcd(5,3, &x0, &y0) →x0=-1.
inv = (-1) mod3=2.
b/d=2/1=2.
t0=2*2 mod3=4 mod3=1 →正确解是1.
是的。
因此，修改后的代码是正确的，并且更高效。
因此，最终的代码应如下：
#include <stdio.h>
long long exgcd(long long a, long long b, long long *x, long long *y) {
if (b == 0) {
*x = 1;
*y = 0;
return a;
} else {
long long d = exgcd(b, a % b, y, x);
*y -= a / b * (*x);
return d;
}
}
int main() {
long long x, y, m, n, L;
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &L);
long long a = m - n;
long long b = y - x;
// 处理a的符号
if (a < 0) {
a = -a;
b = -b;
}
if (a == 0) {
// 青蛙速度相同
if (b % L == 0) {
printf("0\n");
} else {
printf("Impossible\n");
}
return 0;
}
long long x0, y0;
long long d = exgcd(a, L, &x0, &y0);
if (b % d != 0) {
printf("Impossible\n");
} else {
long long L_prime = L / d;
long long inv = (x0 % L_prime + L_prime) % L_prime;
long long t0 = ( (b / d) * inv ) % L_prime;
printf("%lld\n", t0);
}
return 0;
}
这样，代码就正确了。测试样例输入：
假设输入是：
1 2 3 4 5 →样例输入？
根据问题中的Sample Input部分，用户可能给出的输入如：
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
按照代码，得到的结果是正确的。
另一个测试案例：
x=0，y=0，m=1，n=1，L=10 →a=0，b=0 →输出0。
另一个测试案例：
x=0，y=5，m=2，n=3，L=10 →a=2-3=-1 →a=1，b=5 →处理后b= -5.
方程是1*t ≡-5 mod10 →t ≡5 mod10. 输出5次。此时，青蛙A的位置是0+2*5=10 →0 mod10. 青蛙B的位置是5+3*5=20 →0 mod10. 确实相遇。
另一个案例：
x=3，y=5，m=4，n=2，L=10 →a=4-2=2，b=5-3=2.
方程是2t ≡2 mod10 →等价于t≡1 mod5 →解是1,6,11,… 最小的正解是1.
所以，代码输出1.
综上，这个代码应该能够正确处理所有情况。</think>要解决这个问题，我们需要判断两只青蛙是否会在某一时间点相遇。通过分析它们的运动规律，可以将问题转化为求解线性同余方程的解。
### 问题分析
两只青蛙在同一条环形纬度线上跳跃，纬度线总长为$L$米。设青蛙A的起始位置为$x$，每次跳跃$m$米；青蛙B的起始位置为$y$，每次跳跃$n$米。我们需要找到最小的跳跃次数$t$，使得两只青蛙的位置相同。
### 数学建模
两只青蛙在跳跃$t$次后的位置分别为$(x + m \cdot t) \mod L$和$(y + n \cdot t) \mod L$。相遇的条件可以表示为：
$$(x + m \cdot t) \equiv (y + n \cdot t) \pmod{L}$$
化简得：
$$(m - n) \cdot t \equiv (y - x) \pmod{L}$$
这是一个线性同余方程，形式为：
$$a \cdot t \equiv b \pmod{L}$$
其中，$a = m - n$，$b = y - x$。
### 解决步骤
1. **处理符号问题**：若$a < 0$，将方程两边取反，确保$a$为正。
2. **特判$a = 0$的情况**：若$a = 0$，则两只青蛙速度相同，只有当初始位置相同时才相遇。
3. **求解线性同余方程**：使用扩展欧几里得算法求最大公约数$d = \gcd(a, L)$。若$d$不整除$b$，则无解。
4. **求逆元和最小正解**：通过扩展欧几里得算法求出逆元，计算最小正整数解。
### 代码实现
```c
#include <stdio.h>
long long exgcd(long long a, long long b, long long *x, long long *y) {
if (b == 0) {
*x = 1;
*y = 0;
return a;
} else {
long long d = exgcd(b, a % b, y, x);
*y -= a / b * (*x);
return d;
}
}
int main() {
long long x, y, m, n, L;
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &x, &y, &m, &n, &L);
long long a = m - n;
long long b = y - x;
// 处理a的符号
if (a < 0) {
a = -a;
b = -b;
}
if (a == 0) {
// 青蛙速度相同
if (b % L == 0) {
printf("0\n");
} else {
printf("Impossible\n");
}
return 0;
}
long long x0, y0;
long long d = exgcd(a, L, &x0, &y0);
if (b % d != 0) {
printf("Impossible\n");
} else {
long long L_prime = L / d;
long long inv = (x0 % L_prime + L_prime) % L_prime;
long long t0 = ((b / d) * inv) % L_prime;
printf("%lld\n", t0);
}
return 0;
}
```
### 代码解释
1. **exgcd函数**：扩展欧几里得算法求解方程$ax + by = \gcd(a, b)$，并返回最大公约数。
2. **输入处理**：读取输入并处理$a$的符号，确保其为正。
3. **特判处理**：若$a = 0$，检查初始位置是否相同。
4. **求解同余方程**：使用扩展欧几里得算法求最大公约数$d$，若$d$不整除$b$则无解。
5. **计算逆元和最小解**：通过调整逆元得到最小的正整数解。
该算法高效且能够处理大整数范围，确保在合理时间内求解问题。
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