2019 计蒜之道 初赛 第三场 阿里巴巴协助征战SARS（python做法,费马小定理+快速幂）

最新推荐文章于 2022-03-02 21:37:22 发布
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分类专栏： python 计蒜客
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/nihaopeng521/article/details/94442392
这篇博客探讨了如何利用费马小定理和快速幂算法来计算满足特定条件的SARS病毒DNA序列的数量。在DNA字符串仅由A、T、C、G组成，且A和C出现偶数次的情况下，文章提供了一个Python解决方案，计算这些字符串的个数对10^9 + 7取模的结果。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

目前，SARS 病毒的研究在世界范围内进行，经科学家研究发现，该病毒及其变种的 DNA 的一条单链中，胞嘧啶、腺嘧啶均是成对出现的。这虽然是一个重大发现，但还不是该病毒的最主要特征，因为这个特征实在太弱了。

为了进一步搞清楚该病毒的特征，CN 疾病控制中心和阿里巴巴集团合作，用科技的力量和程序的思维来解决这个难题。现阿里巴巴特委派你成为 CN 疾病控制中心的 SARS 高级研究员，去研究在这个特征下，可能成为 SARS 病毒的 DNA 序列的个数。更精确地说，你需要统计所有满足下列条件的长度为 nn 的字符串的个数:

  1. 字符串仅由 A、T、C、G 组成
  2. A 出现偶数次(也可以不出现)
  3. C 出现偶数次(也可以不出现)

当 n=2n=2 时，所有满足条件的字符串有如下 66个:

TT，TG，GT，GG，AA，CC。

注： 由于这个数可能非常庞大，你只需给出对 10^9 + 7109+7 取模的结果即可。

输入格式

输入文件给出了若干个 nn。最后以数字 00 结束。

输出格式

对于输入文件中的每一个 nn，输出满足条件的字符串的个数对 10^9 + 7109+7 取模的结果。

数据范围

n \le 10^{(10^5)}n≤10(105)

样例输入复制

1
2
3
100
0

样例输出复制

2
6
20
113046907

题目思路:先搜索枚举出前几项找规律，最后发现规律是2^n-1+4^n-1,然后用费马小定理求出幂的余数，再用快速幂求解即可，python做法如下

global mod
mod = 1000000007
def mi(n,b):  #快速幂
    x=n
    ans=1
    while b:
        if b%2==1:
            ans*=x%mod
        x=(x%mod*x%mod)%mod
        b=b>>1
    return ans
while(1):
    a=input()
    if a=='0':
        break
    sum=0
    for i in a:
        sum=sum*10+int(i)
        if(sum>mod-1):            #费小马定理
            sum=sum%(mod-1)
    sum=sum-1
    print((mi(2,sum)%mod+mi(4,sum)%mod)%mod)

 

Python:实现fermat little theorem费马小定理算法(附完整源码)
希望我的博客，能帮上你解决学习中工作中所遇到的问题
08-01 684
Python:实现fermat little theorem费马小定理算法(附完整源码)
python 实现fermat little theorem费马小定理算法
luthane的博客
09-12 727
费马小定理（Fermat’s Little Theorem）是数论中的一个重要定理，它提供了一种在特定条件下计算幂的模的简单方法。该定理指出，如果p是一个质数，且整数a不是p的倍数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。基于这个定理，可以设计一种算法来测试一个数是否为质数，或者在某些计算中简化幂的模运算。费马小定理的质数测试算法。
阿里巴巴协助征战SARS（简单）
浦柳人的博客
06-02 550
题目链接：阿里巴巴协助征战SARS（简单） 目前，SARS 病毒的研究在世界范围内进行，经科学家研究发现，该病毒及其变种的 DNA 的一条单链中，胞嘧啶、腺嘧啶均是成对出现的。这虽然是一个重大发现，但还不是该病毒的最主要特征，因为这个特征实在太弱了。 为了进一步搞清楚该病毒的特征，CN 疾病控制中心和阿里巴巴集团合作，用科技的力量和程序的思维来解决这个难题。现阿里巴巴特委派你成为 CN 疾病控制中...
费马小定理之（阿里巴巴协助征战SARS（困难）
浦柳人的博客
06-02 253
费马小定理： 如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。 2与1000000007互质。2 ^ 0 = 2 ^ (p-1) 所以循环节为(p-1-0)=1000000006。 2 ^ a%1000000007 = 2 ^ （a%1000000006) %1000000007。 给出题目：阿里巴巴协助征战SARS（困难） 公式：sum = 2^(n-1) + 4...
费马小定理
百般回首曾经的相遇，留下的只是一缕残忆
08-10 1639
费马小定理 如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a(p-1)≡1 (mod p)。 例如：计算 2100除以 13 的余数 2100 = (212)8 * 24 (mod 13) = 18 * 16 (mod 13) =16 (mod 13) =3 (mod 13) 故余数为 3 ...
2015 CSUST校赛 - 超级快速幂【费马小定理】+【快速幂取模】
Fighting!
05-02 2537
 超级快速幂 Time Limit: 3000/1000 MS(Java/Others)   Memory Limit:65536/65536 K (Java/Others) Description   请计算：    a^(b^c)mod(1e9+7) Input   多组数据，第一行为一个整数T，代表数据组数，接下来每行
Fermat（费马）小定理
weixin_30951231的博客
02-15 1282
费马小定理就是欧拉定理的推论（之一）啦。 先说一说欧拉定理。 欧拉定理很简单，就是一个公式： \(a^{\varphi{(m)}}\equiv1(mod\ {m})\ (a\bot m)\) 那么，很明显，当\(m\)为质数时，\(\varphi^{(m)}=m-1\)，那么，我们的费马小定理就是在这上面进行处理的。 接下来，我们就给出费马小定理的公式啦： \(a^p \equiv a (mod\...
费马素性检测，费马小定理
11-08
费马素性检验是一种随机化算法，判断一个数是合数还是可能是素数。 根据费马小定理：如果p是素数，1 \le a \le p，那么 a^ \equiv 1 \pmod。 如果我们想知道n是否是素数，我们在中间选取a，看看上面等式是否成立。如果对于数值a等式不成立，那么n是合数。如果有很多的a能够使等式成立，那么我们可以说n 可能是素数，或者伪素数。 在我们检验过程中，有可能我们选取的a都能让等式成立，然而n却是合数。这时等式 a^ \equiv 1 \pmod 被称为Fermat liar。如果我们选取满足下面等式的a 费马素性检验 费马素性检验 a^ \not\equiv 1 \pmod 那么a也就是对于n的合数判定的Fermat witness。 整个算法可以写成是下面两大部： 输入：n需要检验的数；k：参数之一来决定检验需要进行的次数。 输出：当n是合数时，否则可能是素数： 重复k次： 在[1, n − 1]范围内随机选取a 如果an − 1 mod n ≠ 1 那么返回合数 返回可能是素数
洛谷3807-卢卡斯定理-python-(lucas+费马小定理+快速幂)
DongLUOWAN的博客
03-02 608
*AC代码 global n,m,p def fast_pow(a,b): ans=1 while b: if b&1: ans=(ans*a)%p a=(a**2)%p b>>=1 return ans def getCombination(a,b): if b>a: return 0 if b>a-b: b=a-b u=1
Fermat素性检测算法与python编程实现
Summer Day
07-03 2248
最近在带家教教学生信息安全数学基础，给他布置了Fermat素性检测算法编程实现的大作业。怕他不会，在这里写下教程，希望他能看到。（原理与算法部分摘自信息安全数学基础老师的课件） 原理 算法 python实现 from random import random #利用辗转相除法求最大公因数 def BFactor(a,b): #若b>a，则交换两个数的值 if(b>a): t=a a=b b=t r = b #初始化r
【模板】费马小定理
dizhoukong2188的博客
03-01 293
费马小定理： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p） 两边都mod p；即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。 延伸： 1. n*a^(p-1) ≡ n　　 (mod p) 2. a^(p-2) ≡ a^(-1)　　（mod p） 3.a^b≡a^(bmod(p...
如何利用费马小定理简化模幂运算？
最新发布
04-19
<think>嗯，用户想了解如何用费马小定理来简化模幂运算。首先，我需要回忆一下费马小定理的内容。定理说的是如果p是质数，且a和p互质，那么a的(p-1)次方模p等于1，也就是$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$。这个定理在模运算里很有用，尤其是处理大指数的时候。 那用户的问题是如何利用这个定理来简化模幂运算。比如，计算a的e次方模p，当e很大的时候，直接计算会很麻烦。这时候费马小定理可以用来将指数减小。比如，如果p是质数，a和p互质，那么可以把e写成k*(p-1)加上余数r，这样$a^e \mod p$就可以变成$a^{k*(p-1) + r} \mod p$，也就是$(a^{p-1})^k * a^r \mod p$。根据定理，a的(p-1)次方模p是1，所以整个式子可以简化为$a^r \mod p$，这样就只需要计算r次方的模，r是e对(p-1)取模的结果。 接下来需要确认的是这个方法的应用条件。首先，p必须是质数，其次a和p必须互质。如果这两个条件不满足，费马小定理就不能直接应用。比如，如果p不是质数，可能需要用欧拉定理，这时候指数模的是欧拉函数φ(p)的值，但用户的问题里没有提到这个，所以可能不需要展开。 然后要考虑例子，比如计算3^100模7。7是质数，3和7互质，所以根据费马小定理，指数可以模6（因为7-1=6）。100除以6余4，所以结果是3^4 mod7，也就是81 mod7等于4。这个例子能清楚展示步骤。 另外，可能用户会问到当指数小于p-1的时候是否需要处理，这时候可能不需要简化，但也可以应用，比如指数是5，p是7，那么余数还是5，结果不变。但需要指出这个方法在指数大于等于p-1时更有效。 还有，应用中的注意事项，比如p必须是质数，否则不能直接用费马小定理。如果a和p不互质，比如a是p的倍数，那么结果会是0，这时候定理不适用，但计算起来更简单。比如5^10 mod5直接是0，不需要用定理。 然后需要整理步骤，可能分成几个方法：直接应用费马小定理，处理非互质情况，以及综合运用其他定理如欧拉定理。每个步骤给出例子，并注意格式中的数学符号要用$符号包裹。 最后，生成相关问题的时候，需要考虑用户可能进一步的问题，比如处理合数模数的情况，或者与其他定理结合使用，或者实际应用中的例子，以及错误处理的情况。比如，如果用户尝试用费马小定理但p不是质数，会发生什么，这时候需要欧拉定理，或者如何判断是否互质等等。</think>费马小定理在模幂运算中的应用可通过以下方法实现： **定理核心条件** 当模数$p$为质数且底数$a$与$p$互质时，定理成立：$$a^{p-1} \equiv 1 \mod p$$ 此时可将指数$e$转换为$k(p-1)+r$形式，其中$r = e \mod (p-1)$ **简化步骤** 将原式$a^e \mod p$转化为： $$a^{e} \equiv a^{k(p-1)+r} \equiv (a^{p-1})^k \cdot a^r \equiv 1^k \cdot a^r \equiv a^r \mod p$$ **计算示例** 计算$3^{100} \mod 7$： 1. 验证条件：$7$是质数，$\gcd(3,7)=1$ 2. 计算指数余数：$100 \mod 6 = 4$（因$7-1=6$） 3. 简化计算：$3^4 = 81 \equiv 81-11×7=4 \mod 7$ **非互质情况处理** 当$a$与$p$不互质时（即$a$是$p$的倍数）： $$a^e \equiv 0 \mod p$$ 例如$5^{10} \mod 5$直接等于$0$ **扩展应用** 结合欧拉定理可处理合数模数$n$： $$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \mod n$$ 其中$\varphi(n)$是欧拉函数，当$n$为质数时退化为费马小定理 **验证代码** ```python def mod_exp(a, e, p): if a % p == 0: return 0 reduced_e = e % (p-1) return pow(a, reduced_e, p) # 示例计算 print(mod_exp(3, 100, 7)) # 输出4 ```
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