24、最简单熵片反演问题的解析解

最简单熵片反演问题的解析解

1. 引言

在信念函数理论的框架下，我们探讨如何从给定的熵片向量计算基本信念分配（BBA），这就是熵片反演问题（EIP）。为了理解这个问题，我们先介绍一些基本概念。

一个识别框架（FoD） $\Theta = { \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_N }$ 是一个由 $N > 1$ 个相互排斥的元素 $\theta_i$ 组成的有限穷举集，其幂集（即所有子集的集合）记为 $2^{\Theta}$。基本信念分配（BBA） $m$ 是一个从 $2^{\Theta}$ 到 $[0, 1]$ 的映射，满足 $m(\varnothing) = 0$ 且 $\sum_{X \in 2^{\Theta}} m(X) = 1$。

对于定义在 FoD $\Theta$ 上的任何 BBA $m(\cdot)$，新的有效熵度量 $U(m)$ 定义如下：
$U(m) = \sum_{X \in 2^{\Theta}} s(X)$
其中，$s(X)$ 称为 $X$ 的熵片，定义为：
$s(X) = -m(X)(1 - u(X)) \log(m(X)) + u(X)(1 - m(X))$
这里，$u(X) = Pl(X) - Bel(X) = \sum_{Y \in 2^{\Theta} | X \cap Y \neq \varnothing} m(Y) - \sum_{Y \in 2^{\Theta} | Y \subseteq X} m(Y)$，$Pl(X)$ 和 $Bel(X)$ 分别是幂集 $\Theta$ 中元素 $X$ 的似然性和信念度。

这个不确定性度量 $U(m)