不可思議的數字巧合（一）

2007-02-08 

1. 勾股數、Pythagoras与Ferma大定理

3^2 + 4^2 = 5^2

3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3

2. 完全數（Perfect Number）的其他秘密

6, 28和496都被稱為完全數，如：6 = 1 + 2 + 3 = 1*2*3

然而，28和496這兩個完全數還有以下美妙關系：

28 = 1^3 + 3^3

496 = 1^3 + 3^3 + 5^3 + 7^3

3. 三角數

1, 3, 6, 10, 15, 21 ... 被稱為三角數，請看：

3*(1+3)^3 = 1^3+3^3+2*(1^4+3^4)

3*(1+3+6)^3 = 1^3+3^3+6^3+2*(1^4+3^4+6^4)

3*(1+3+6+10)^3 = 1^3+3^3+6^3+10^3+2*(1^4+3^4+6^4+10^4)

3*(1+3+6+10+15)^3 = 1^3+3^3+6^3+10^3+15^3+2*(1^4+3^4+6^4+10^4+15^4)

3*(1+3+6+10+15+21)^3 = 1^3+3^3+6^3+10^3+15^3+21^3+2*(1^4+3^4+6^4+10^4+15^4+21^4)

4. 因數之謎

6有因數1, 2, 3和6，這些因數所含因數的個數分別為1, 2, 2和4.

 (1+2+2+4)^2 = 1^3+2^3+2^3+4^3

30有因數1, 2, 3, 5, 6, 10, 15和30，這些因數所含因數的個數分別為1, 2, 2, 2, 4, 4, 4和8.

 (1+2+2+2+4+4+4+8)^2 = 1^3+2^3+2^3+2^3+4^3+4^3+4^3+8^3

那么是否只有6和30這兩個特例呢?

5. 神秘的冪方和巧合

1^1 + 5^1 + 10^1 + 18^1 + 23^1 + 27^1 = 2^1 + 3^1 + 13^1 + 15^1 + 25^1 + 26^1

1^2 + 5^2 + 10^2 + 18^2 + 23^2 + 27^2 = 2^2 + 3^2 + 13^2 + 15^2 + 25^2 + 26^2

1^3 + 5^3 + 10^3 + 18^3 + 23^3 + 27^3 = 2^3 + 3^3 + 13^3 + 15^3 + 25^3 + 26^3

1^4 + 5^4 + 10^4 + 18^4 + 23^4 + 27^4 = 2^4 + 3^4 + 13^4 + 15^4 + 25^4 + 26^4

1^5 + 5^5 + 10^5 + 18^5 + 23^5 + 27^5 = 2^5 + 3^5 + 13^5 + 15^5 + 25^5 + 26^5

6. 和諧數與質數表的巧合

所謂和諧數就是前n個自然數的倒數和，即：

H1 = 1

H2 = 1 + 1/2 = 1.5

H3 = 1 + 1/2 + 1/3 = 1.8333 ...

H4 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 2.08333 ...

于是，有意思的事情發生了：

注意到H60 = 4.6798 ... ，而質數表中第60個質數是281，281的60分之一等于4.68

H100 = 5.1874 ...，而質數表中第100個質數是541，541的100分之一等于5.41

7. 神奇的73939133

7 是質數
73 是質數
739 是質數
7393 是質數
73939 是質數
739391 是質數
7393913 是質數
73939133 是質數

…… ？

8. 吸血鬼數

1395 = 15 x 93

1435 = 35 x 41

... ...

1827, 2155, 2170和2187都是四位數的吸血鬼數。

六位數的吸血鬼數有：

125460 = 204 x 615 = 246 x 510 ...

八位數的吸血鬼數最為神奇：

13078260 = 1620 x 8073 = 1863 x 7020 = 2070 x 6318

9. Armstrong數

153 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17

153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!

因此153稱為Armstrong數，其他1000以內的Armstrong數還有：

370, 371和407

10. 質數等差數列

質數3, 5, 7構成等差數列，公差為2，下一個質數等差數列是5, 11, 17, 23, 29 ，其公差為6……

迄今為止發現的最大的質數等差數列由Manfred Toplic發現于1998年3月，共有十個質數，其中第一個數是100996972469714247637786655587969840329509324689190041803603417758904341703348882159067229719，公差為210。

 

注：選譯自madrascollege.maths@fife.gov.uk的《Amazing Numer Facts》。