秩1矩阵,向量,迹

前面专门讨论过秩为1的矩阵，由Ax=0有n-1个线性无关向量，联想到：Aα=0⋅α

,知道0必是A的特征值，且是n-1重特征值。

这样的性质如果单独考察，就过于简单了。在另一篇文章中总结过秩为1的矩阵求幂的思路。

http://blog.youkuaiyun.com/u011240016/article/details/52805663

这个做法也是通用的，即：秩为1的矩阵可以抽出两个向量之积。这个积是：列向量x行向量。

不妨设α,β
是列向量。那么$\alpha {\beta }^T$

就是一个秩为1的矩阵。

而如果给定一个秩为1的矩阵，如何抽出两个向量呢？
行向量就是矩阵的任意一行，列向量是这一行的三个倍数。

比如：

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ 6& 3& -3\\ -4& -2& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ -2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\end{array}\right]$

还有一点非常奇妙的是：${\alpha }^T\beta$ 是一个数。且这个数不是随便的数。而是矩阵的迹。
其中矩阵的绩等于特征值之和。