线性回归 linear regression 原理及推导

概述

  • 优点:容易计算,易于理解和实现
  • 缺点:容易欠拟合
  • 适用数据类型:数值型和标称型

口头描述

线性回归试图构造一个线性函数,去拟合尽可能多的样本点。重点是如何确定线性函数的参数,使得该函数尽量穿过样本点,一般使用均方误差最小化来作为参数拟合效果的标准。

算法推导(解方程的方法)

  • 给定训练数据集D={(xi,yi)}i=1mD=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^mD={(xi,yi)}i=1m,样本xix_ixiddd个属性描述,线性模型为:
    fω(x)=ωTx+b  ,  f(x)⋍y f_\omega(x)=\omega^Tx+b \; ,\;f(x) \backsimeq y fω(x)=ωTx+b,f(x)y
  • 使用均方误差衡量f(x)f(x)f(x)yyy之间的差别,我们的目标是使他们的差别最小化。
    Es(square  loss)=∑i=1m(f(xi)−yi)2 E_s(square \; loss)=\sum_{i=1}^{m}(f(x_i)-y_i)^2 Es(squareloss)=i=1m(f(xi)yi)2
  • 使用矩阵进行表达
    • 参数向量矩阵:
      ω^=(ω;b)=[ω1ω2...ωdb] \hat{\omega}=(\omega ;b)= \begin{bmatrix} \omega_1 \\ \omega_2\\ ... \\ \omega_d \\ b \end{bmatrix} ω^=(ω;b)=ω1ω2...ωdb
      注意: ω^\hat{\omega}ω^d+1d+1d+1111列的
    • 数据集矩阵:
      X=[x11x12…x1d1x21x22...x2d1⋮⋮⋱⋮⋮xm1xm2…xmd1]=[x1T1x2T1⋮⋮xmT1] X=\begin{bmatrix} x_{11}&x_{12}&\dots&x_{1d}&1 \\ x_{21}&x_{22}&...&x_{2d}&1 \\ \vdots&\vdots&\ddots& \vdots&\vdots\\ x_{m1}&x_{m2}& \dots&x_{md}&1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_1^T&1 \\ x_2^T&1 \\ \vdots&\vdots \\ x_m^T&1 \end{bmatrix} X=x11x21xm1x12x22xm2...x1dx2dxmd111=x1Tx2TxmT111
      注意:最后一列全是1,前d个元素对应样本的d个属性值
    • 标记矩阵:
      y=[y1y2⋮ym] y=\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \end{bmatrix} y=y1y2ym
  • 则均方误差为:
    Es=(y−Xω^)T(y−Xω^) E_s=(y-X\hat{\omega})^T(y-X\hat{\omega}) Es=(yXω^)T(yXω^)
  • Eω^=(y−Xω^)T(y−Xω^)E_{\hat{\omega}}= (y-X\hat{\omega})^T(y-X\hat{\omega})Eω^=(yXω^)T(yXω^),对ω^\hat{\omega}ω^求导得:
    ∂Eω^∂ω^=2XT(Xω^−y) \frac{\partial E_{\hat{\omega}}}{\partial \hat{\omega}}=2X^T(X\hat{\omega}-y) ω^Eω^=2XT(Xω^y)
    令上式为零可得ω^\hat{\omega}ω^的最优解的闭式解
    ω^∗=(XTX)−1XTy \hat{\omega}^*=(X^TX)^{-1}X^Ty ω^=(XTX)1XTy
    解出上式,也就得到了模型的公式:
    f(xi^)=xi^T(XTX)−1XTy f(\hat{x_i})=\hat{x_i}^T(X^TX)^{-1}X^Ty f(xi^)=xi^T(XTX)1XTy
    其中,
    xi^=[xi1xi2⋮xid1] \hat{x_i}= \begin{bmatrix} x_{i1}\\ x_{i2}\\ \vdots \\ x_{id} \\ 1 \end{bmatrix} xi^=xi1xi2xid1

算法推导(梯度下降)

目标是使均方误差最小化,即:
min  E(square  loss)=12m∑i=1m(fω^(xi)−yi)2 min \;E(square \; loss)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(f_{\hat{\omega}}(x_i)-y_i)^2 minE(squareloss)=2m1i=1m(fω^(xi)yi)2
这里的12m\frac{1}{2m}2m1是为了方便求偏导

对误差函数做偏导,对于每个特征(ωn\omega ^nωn),其梯度(偏导)为:
∂E∂ωn=1m∑i=1m(fω^(xi)−yi)⋅xin \frac{\partial E}{\partial \omega^n}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(f_{\hat{\omega}} (x_i)-y_i)\cdot x^n_i ωnE=m1i=1m(fω^(xi)yi)xin
这里是对每一个特征进行了求导,因为
fω^(xi)=ω0xi0+ω1xi1+⋯+ωnxin      (xi:the  ith  data) f_{\hat{\omega}}(x_i)=\omega ^0x^0_i +\omega^1x^1_i+\dots+\omega^nx^n_i\;\;\;(x_i:the \; i^{th} \; data) fω^(xi)=ω0xi0+ω1xi1++ωnxin(xi:theithdata)
则梯度下降的流程就是:

重复此过程直到收敛 {

ω0:=ω0−α1m∑i=1m(fω^(xi)−yi)⋅xi0 \omega^0:=\omega^0-\alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(f_{\hat{\omega}} (x_i)-y_i)\cdot x^0_i ω0:=ω0αm1i=1m(fω^(xi)yi)xi0
ω1:=ω1−α1m∑i=1m(fω^(xi)−yi)⋅xi1 \omega^1:=\omega^1-\alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(f_{\hat{\omega}} (x_i)-y_i)\cdot x^1_i ω1:=ω1αm1i=1m(fω^(xi)yi)xi1
⋮ \vdots
ωn:=ωn−α1m∑i=1m(fω^(xi)−yi)⋅xin \omega^n:=\omega^n-\alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(f_{\hat{\omega}} (x_i)-y_i)\cdot x^n_i ωn:=ωnαm1i=1m(fω^(xi)yi)xin
}

解释一下,∑i=1m(fω^(xi)−yi)\sum_{i=1}^{m}(f_{\hat{\omega}} (x_i)-y_i)i=1m(fω^(xi)yi)的意思是计算每个预测值与实际值的差别的总和。另外,对每个ωi\omega^iωi进行更新都是独立的,应当把所有的ωi\omega^iωi全部计算出来后再对其进行赋值更新。

XTXX^TXXTX的要求

当矩阵XTXX^TXXTX是满秩矩阵的时候,上述最优解成立,但是很多情况下XTXX^TXXTX往往不是满秩矩阵,此时可以解出ω^\hat{\omega}ω^,他们都能使均方误差最小化,选择哪一个作为输出,将由学习算法的归纳偏好决定,常见的做法是引入正则化项。

对数线性回归

我们希望回归模型去逼近ln  yln\;ylny不是yyy时,模型变为
ln  y=ωTx+b ln\; y=\omega^Tx+b lny=ωTx+b
这就是对数线性回归

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