雅克比行列式在重积分的应用

最新推荐文章于 2021-10-16 12:42:05 发布
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分类专栏： 数学
本文探讨了雅可比行列式在重积分中的应用，特别是作为一种有效的换元方法，帮助解决复杂的积分问题。

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雅可比行列式：它究竟是如何工作的？
gongdiwudu的专栏
10-23 4749
关于雅各比，如果你熟悉任何多变量微积分，你可能听说过这个术语。老实说，我第一次了解雅可比矩阵时，我根本不明白它是如何工作的，但是知道雅可比矩阵在整个多变量微积分中被大量使用，并且将来会有文章我想写使用它，在本文中，我最终将尝试给出我最好的解释。
关于雅可比行列式与积分换元
weixin_30522095的博客
07-14 6263
换元前后微元数目相同，然后我们保证每个微元的积分（就是dxdy * f(x,y) 的简单乘积）相同那么最后的结果必定是一样的。 对于二元情况的证明参考同济高数7版 P151 A 考虑线性方程组 u=ax+by v=cx+dy ------------------------------ 如果在xy平面上取 (0,0),(1,0),(0,1),(1,1)4个点构成一个变长为1的正方形，...
雅可比行列式在积分坐标变换中的应用
03-16
雅可比行列式在积分坐标变换中的应用，介绍类文档，详细且深入浅出，需要请自行下载
雅克比矩阵&行列式——单纯的矩阵和算子
carrierlxksuper的专栏
10-08 2万+
最近接触了一点雅克比的东西，以前学习雅克比矩阵和雅克比行列式是在高数上，就知道个二重积分的时候可以用一下，其他的真没遇到过。最近在学习随机过程，在涉及到随机变量转化求解概率密度函数时，猛然冒出雅克比行列式让我刮目相看，于是开始再次学习这些东西。    首先介绍定义，雅克比矩阵是一阶偏导数以一定的方式排列成的矩阵，当其实方阵时，行列式称为雅克比行列式。设有m个n元函数组成的函数组：，称之为函数
雅可比矩阵和行列式（Jacobian）
热门推荐
linkequa的博客
02-15 15万+
1，Jacobian matrix and determinant 在向量微积分学中，雅可比矩阵是向量对应的函数（就是多变量函数，多个变量可以理解为一个向量，因此多变量函数就是向量函数）的一阶偏微分以一定方式排列形成的矩阵。 如果这个矩阵为方阵，那么这个方阵的行列式叫雅可比行列式。 2，雅可比矩阵数学定义 假设函数f可以将一个n维向量n⃗\vec{n}n（n∈Rnn\in R^nn∈Rn）变成一个...
二重积分和雅可比行列式
吾生也有涯，而知也无涯
03-13 11万+
我们以二重积分为例进行说明，首先说结论： 一、结论 若x = x(u, v), y = y(u, v)存在偏导数，则二阶雅可比行列式为= = dxdy = |J2| dudv, (J2的绝对值),且 其中积分区域和积分区域是一一对应的。 二、理解 二重积分的定义中指出，将积分区域任意分割成n个小的闭区域: Δσ1, Δσ2, …, Δσn, 其中Δσi表示第i个小闭合区...
常用 Jacobi 行列式 | 重积分变量替换
陌雨’的博客
10-16 4795
二维 极坐标变换： {x=rcos⁡θy=rsin⁡θ∂(x,y)∂(r,θ)=r\left\{\begin{aligned} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\end{aligned}\right.\qquad \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r{x=rcosθy=rsinθ​∂(r,θ)∂(x,y)​=r 广义极坐标变换： {x=arcos⁡θy=brsin⁡θ∂(x,y)∂(r,θ)=abr\left\{\begin{alig
随机过程联合概率密度函数坐标系转换中的雅各比行列式及其与重积分坐标转换中雅各比行列式的比较.docx
08-09
此外，文章还可能探讨了雅各比行列式在重积分中的应用和与二维变换的比较，进一步加深了对随机过程和多维概率分布理解的重要性。通过这种方式，读者可以更好地掌握如何在不同坐标系之间有效地转换和分析随机过程，这...
概率密度变换公式 雅可比矩阵_雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中的应用...
weixin_29327977的博客
12-23 1857
龙源期刊网http://www.qikan.com.cn雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中的应用作者：赵微来源：《新教育时代》2014年第12期摘要：为了使二维随机变量函数概率密度计算公式得到简化，本文首先利用雅克比行列式，应用变量变换定理给出了二维随机变量函数概率密度的计算公式。但变量变换定理要求反函数存在且唯一，为克服这一缺陷，文中给出了两种方法对变量变换定理进行改进。关键词：二维随机...
砖元：计算有限元分析中砖元的雅可比和变形矩阵（B）的行列式-matlab开发
05-29
此函数在有限元分析中找到八节点砖单元的雅可比和变形矩阵 (B) 的行列式： 函数 [J_det, B]=brick8(V,r,s,t) ％输入---------- V: (8*3) 顶点坐标矩阵。... 输出： ---------- J_det：雅可比行列式B：变形矩阵
浅谈雅可比矩阵
Marvelous_Morty的博客
04-13 4万+
浅谈雅可比矩阵历史渊源 历史渊源 首先，要先介绍一下——多产堪比欧拉，被广泛认为是历史上三大最具运算能力的数学家之一的雅可比先生。 卡尔·雅可比 1804年12月10日，卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）出生于普鲁士的一个殷实犹太人家庭，成为家中的老二，父亲（Simon Jacobi）是一位成功的银行家。 雅可比是个聪明的孩子，幼年跟随舅舅学习古典语言和数学，12岁进...
雅克比矩阵在积分坐标变换中的应用
Du_Shuang的博客
06-25 5886
积分的坐标变换可以利用雅克比行列式非常简单的进行计算，这个方法在高等数学里面不属于要求内容，所以很少有人知道。 其应用举个例子如下所示： 上述图片来源自：https://blog.youkuaiyun.com/kevinoop/article/details/79871723 上述方法同样适用于高元坐标变换，其详细推导和解释详见以下文章： https://wenku.baidu.com/view/4707b...
超强换元法，二重积分计算的利器（雅可比行列式超通俗讲解）
yuxuezhang的博客
06-21 2万+
二重积分计算是个老大难，有的题目计算过程极其复杂，直角坐标和极坐标换元已不足以应对“复杂路况”，这个时候怎么办？整上一手超强换元法，出奇制胜，本文带你一窥究竟。 首先来回顾下定积分的换元过程： I=∫abf(x)dxI=\int_{a}^{b}f(x)dxI=∫ab​f(x)dx ，令 x=g(t)x=g(t)x=g(t) ，则： I=∫g−1(a)g−1(b)f(g(t))dg(t)I=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(g(t))dg(t)I=∫g−1(a)g−1(b)​f(g(
雅可比行列式_二重积分换元法、雅可比行列式
weixin_39702479的博客
12-18 2745
在fft海面模拟求浪尖泡沫区域时，需要用到雅可比行列式（见：杨超：fft海面模拟(一)），故温习一下。二重积分换元法同济高数下册有讲，当时没细看证明，近来用到搜了一下，感觉下面这样推比较直观： 同理可得： 所以变换后面积元 参考：https://ipfs.io/ipfs/QmXoypizjW3WknFiJnKLwHCnL72vedxjQkDDP1mXWo6uco/wiki/Jacob...
二重积分的换元
ResumeProject的博客
11-19 5214
二重积分的换元&&雅可比(面积变换之间的“扭曲系数”) (dudv)=(∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y)(dxdy)\left( \begin{array} { l l } {du } \\ { dv } \end{array}\right)= \left( \begin{array} { l l } {\frac{ \partial u }{ \partial x } }&{ \frac{ \partial u}{ \partial y } } \\ { \frac{
三菱FX3U三轴伺服电机与威纶通触摸屏组合程序详解：轴点动、回零与定位控制及全流程解析
08-11
三菱FX3U三轴伺服电机与威纶通触摸屏的程序编写方法及其应用。主要内容涵盖伺服电机主控程序、触摸屏程序、轴点动、回零及定位程序、通讯模块程序以及威纶显示器程序的分析。通过对各个模块的深入探讨，帮助读者理解每个部分的功能和实现方式，确保机械运动控制的准确性、高效性和稳定性。此外，文章还提供了关于程序编写过程中可能遇到的问题及解决方案。 适合人群：从事自动化控制领域的工程师和技术人员，尤其是对三菱FX3U三轴伺服电机和威纶通触摸屏有实际操作需求的专业人士。 使用场景及目标：适用于工业自动化项目中，旨在提高对三菱FX3U三轴伺服电机和威纶通触摸屏的理解和应用能力，掌握模块化编程技巧，解决实际工程中的编程难题。 其他说明：文中不仅讲解了各模块的具体实现细节，还强调了程序的安全性和可靠性，为项目的成功实施提供了有力的支持。
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雅可比行列式
06-05
### 雅可比行列式的定义与计算方法 雅可比行列式是基于雅可比矩阵的一个重要数学概念。雅可比矩阵表示一组多元函数的一阶偏导数以矩阵形式排列的结果[^1]。当这个矩阵为方阵时，其行列式被称为雅可比行列式。具体而言，对于 \(n\) 个变量和 \(n\) 个函数的系统 \(f_i(x_1, x_2, ..., x_n)\)，雅可比矩阵 \(J\) 的元素为： \[ J_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \] 如果雅可比矩阵为 \(n \times n\) 方阵，则雅可比行列式定义为其行列式值，记作： \[ \det(J) = \det\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right) \] #### 计算方法 在实际应用中，雅可比行列式的计算依赖于对偏导数的求解以及行列式的展开。例如，在二维空间中，若给定变换 \(x = r \cos(a)\) 和 \(y = r \sin(a)\)，则雅可比行列式为： \[ \det(J) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial a} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial a} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos(a) & -r\sin(a) \\ \sin(a) & r\cos(a) \end{vmatrix} = r(\cos^2(a) + \sin^2(a)) = r \] 上述结果表明，在极坐标变换下，面积元的缩放因子为 \(r\)，这正是雅可比行列式的意义之一[^2]。 #### 雅可比行列式的意义 雅可比行列式在多重积分变换中起着关键作用。它描述了从一个坐标系到另一个坐标系的体积元变化比例。例如，在三维空间中的球坐标变换中，雅可比行列式决定了体积元的变化[^3]。此外，雅可比行列式还广泛应用于概率密度函数的变换公式中[^4]。 ```python import sympy as sp # 定义变量 r, a = sp.symbols('r a') # 定义变换 x = r * sp.cos(a) y = r * sp.sin(a) # 构建雅可比矩阵 J = sp.Matrix([[sp.diff(x, r), sp.diff(x, a)], [sp.diff(y, r), sp.diff(y, a)]]) # 计算雅可比行列式 det_J = J.det() print(det_J) ``` 运行上述代码将输出雅可比行列式的值 \(r\)。
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