图论

图论

图的连通性

生成树

最小生成树

prime算法

把所有的点分成两类，一类是已到达的，一类是未到达的。初始化，源点为已到达点，其它均为不可到达点。然后从已到达点堆 到 不可到达点堆的 所有边中挑出代价最小的一条边加入生成树中，再将连接的这个点加入已到达点堆，依次迭代，直到所有点都可到达。

时间复杂度:O(n^2)

kruskal算法

把所有边排序，依次取最小的边，如果不构成环则把它加入生成树中。（利用并查集）

时间复杂度：O(n^2)

拓扑排序

由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称为拓扑排序。

算法如下：
1. 在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出之（如果有多个，则任意输出一个）
2. 从图中删除该顶点和所有已它为尾的弧（入度为0的结点）
3. 重复上面两个步骤，直到全部顶点都输出

最短路径

Dijkstra算法

分集合，确定最优解。然后延伸，比如上一步已经将Vk加入S集合，则下一步考虑Vk所能到达的点，并与集合中结点到下一个j的距离比较。如果小，则更新。并加入到S集合。

1. 最短路径的最优子结构性质
   该性质描述为：如果P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。假设P(i,j)={Vi….Vk..Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P’(k,s)，那么P’(i,j)=P(i,k)+P’(k,s)+P(s,j)

Floyod算法

算法过程：
１、用D[v][w]记录每一对顶点的最短距离。
２、依次扫描每一个点u，并以其为基点再遍历所有每一对顶点D[v][w]的值，看看是否可用过该基点让这对顶点间的距离更小。