46、网络拓扑结构量化方法与强连通分量维护算法

网络拓扑结构量化方法与强连通分量维护算法

在网络研究中，量化网络的拓扑结构以及维护网络的连通性是非常重要的问题。本文将介绍两种网络拓扑结构的量化方法，分别是对树状聚合物树和树状聚合物图的终端维纳指数的计算，同时还会介绍一种在共享内存图中维护强连通分量的在线全动态算法。

树状聚合物树的拓扑结构量化

树状聚合物树 $T_{d,h}$ 有两个额外参数：固定最大度 $d$ 和迭代次数或深度 $h$（$d \geq 3$，$h \geq 0$）。其构建方法是迭代式的：
1. 初始时，$T_{d,0}$ 仅由一个中心顶点组成，该顶点是树状聚合物树的核心。
2. $T_{d,1}$ 通过将 $d$ 个顶点连接到中心顶点得到。
3. 对于 $h > 1$，$T_{d,h}$ 是通过将 $d - 1$ 个新顶点连接到 $T_{d,h - 1}$ 的悬挂顶点得到。

从构建方法中可以提取出以下结构属性：
- 悬挂顶点数量：$p_h = d(d - 1)^{h - 1}$（$h \geq 1$）
- 顶点总数：$N_h = 1 + \frac{d(d - 1)^h - 1}{d - 2}$
- 直径：$D_h = 2h$

下面是计算树状聚合物树 $T_{d,h}$ 终端维纳指数的过程。首先有引理 2：对于任意树状聚合物树 $T_{d,h}$，$k = {4, 6, 8, \cdots, D_h}$ 时，$d_p(k)$ 为：
[
d_p(k) =
\begin{cases}
\frac{d(d - 2)}{2}(d - 1)^{\frac{2h + k - 4}{2}} &