NOIP 2015 子串 DP

最新推荐文章于 2018-10-28 21:29:00 发布

NeighThorn

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分类专栏： TYVJ 那里DP姹紫嫣红开遍

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本文介绍了一种使用动态规划解决特定字符串匹配问题的方法。通过定义状态f[s][i][j]来表示使用字符串A的前i个字符形成s个非空子串与字符串B的前j个字符匹配的方案数，并给出了详细的转移方程及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这里写图片描述
n<=1000,m<=200,k<=m

今天是写这道题第2遍了…然而上次我还给别人讲了这道题的做法…现在就不会做了QAQ…

我们定义f[s][i][j]为使用了A串的前i个字符组成了s个非空子串匹配了B串的前j个字符的方案数…
我们可以很轻易的得出dp转移方程
f[s][i][j]+=f[s][i-1][j]+f[s-1][i-1][j-1] (a[i]==b[j])+f[s][i-1][j-1] (a[i]==b[j])
但是考虑这个转移方程会有重复的地方：
f[s][i-1][j]包含f[s-1][i-2][j-1],f[s-1][i-1][j-1]同样也包含f[s-1][i-2][j-1]…
所以f[s-1][i-2][j-1]被加了两次…所以我么就要减去一个f[s-1][i-2][j-1]…所以我们就不能滚i这一维只能滚s这一维了…

代码如下：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
const int maxa=1000+5,maxb=200+5,p=1000000007;
int n,m,k,f[2][maxa][maxb],tmp;
char a[maxa],b[maxb];
inline int read(){
    char ch=getchar();
    int f=1,x=0;
    while(!(ch>='0'&&ch<='9')){
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
        x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
signed main(void){
    n=read(),m=read(),k=read(),tmp=0;
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    for(int i=0;i<=n;i++)
        f[0][i][0]=1;
    for(int s=1;s<=k;s++){
        tmp=(tmp+1)%2;
        for(int i=0;i<=n;i++)
            f[tmp][i][s-1]=0;//因为我们选择了s个非空字串进行匹配，所以b中s-1个字符进行匹配的方案数当然是0 
        for(int j=s;j<=m;j++)
            for(int i=j;i<=n;i++){
                if(a[i]!=b[j])
                    f[tmp][i][j]=f[tmp][i-1][j];
                else{
                    f[tmp][i][j]=((f[(tmp+1)%2][i-1][j-1]+f[tmp][i-1][j])%p+f[tmp][i-1][j-1])%p;
                    if(i>=2)
                        f[tmp][i][j]=(f[tmp][i][j]-f[tmp][i-2][j-1]+p)%p;
                }
            }
    }
    cout<<f[tmp][n][m]<<endl;
    return 0;
}

by >_< NeighThorn