NOIP 2015 子串（DP）

最新推荐文章于 2024-06-23 10:00:00 发布

Hany01

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分类专栏： NOIP DP

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本文介绍了一种使用动态规划解决字符串匹配问题的方法。该方法通过构建一个四维DP数组来跟踪两个字符串之间的匹配状态，以此计算从字符串A中选取k个子串重组后与字符串B相等的所有可能方案数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有两个仅包含小写英文字母的字符串 A 和 B。现在要从字符串 A 中取出 k 个互不重叠的非空子串,然后把这 k 个子串按照其在字符串 A 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串,请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 B 相等?（子串取出的位置不同也认为是不同的方案）

Solution

显然DP，
$dp[i][j][k][0/1]$ 表示当前已经计算到A串中的第 $i$ 个字母，B串中的第 $j$ 个字母，已经用了 $k$ 次机会以及当前的第 $i$ 个字符是否被选中。
边界： $dp[i][0][0][0]=1$
~~转移就非常显然了吧~~
$dp[i][j][k][0]=dp[i-1][j][k][0]+dp[i-1][j][k][1]$
如果 $A[i]=B[j]$ ， $dp[i][j][k][1] = dp[i - 1][j - 1][k - 1][0] + dp[i - 1][j - 1][k][1]+dp[i - 1][j - 1][k - 1][1]$
否则, $dp[i][j][k][1]=0$

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#define For(i , j , k) for (int i = (j) , _##end_ = (k) ; i <= _##end_ ; ++ i)
#define Fordown(i , j , k) for (int i = (j) , _##end_ = (k) ; i >= _##end_ ; -- i)
#define Set(a , b) memset(a , b , sizeof(a))
#define pb push_back
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define Mod (1000000007)
using namespace std;
typedef long long LL;

template <typename T> inline bool chkmax(T &a , T b) { return a < b ? (a = b , 1) : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a , T b) { return b < a ? (a = b , 1) : 0; }

int _ , __;
char c_;
inline int read()
{
    for (_ = 0 , __ = 1 , c_ = getchar() ; !isdigit(c_) ; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; isdigit(c_) ; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

inline void file()
{
#ifdef hany01
    freopen("string.in" , "r" , stdin);
    freopen("string.out" , "w" , stdout);
#endif
}

const int maxn = 1001 , maxm = 201;

int n , m , K , dp[maxn][maxm][maxm][2] , t;

char s1[maxn] , s2[maxm];

int main()
{
    file();
    n = read();
    m = read();
    K = read();
    scanf("%s" , s1 + 1);
    scanf("%s" , s2 + 1);
    dp[0][0][0][0] = dp[1][0][0][0] = 1;
    t = 0;
    For(i , 1 , n)
    {
        t ^= 1;
        For(j , 1 , i)
            For(k , 1 , min(j , K))
            {
                dp[t][j][k][0] = (dp[t ^ 1][j][k][0] + dp[t ^ 1][j][k][1]) % Mod;
                if (s1[i] == s2[j])
                    dp[t][j][k][1] = ((dp[t ^ 1][j - 1][k - 1][0] + dp[t ^ 1][j - 1][k][1]) % Mod + dp[t ^ 1][j - 1][k - 1][1]) % Mod;
                else
                    dp[t][j][k][1] = 0;
            }
    }
    printf("%d\n" , (dp[t][m][K][0] + dp[t][m][K][1]) % Mod);
    return 0;
}