ST表学习笔记

RMQ，即 Range Maximum(Minimum) Query 的缩写，即询问某个区间内的最大值或最小值。

简介

ST 表通常用在要多次询问一些区间的最值的问题中。

时间复杂度

$O(n\log n)$ 的预处理，$O(1)$ 回答每个询问。

使用条件

使用 ST 表的条件是没有修改操作，它适用于没有修改操作并且询问次数较多（$10^6$ 级别甚至更大）的情况。

流程

预处理

我们用 $a_1$ 到 $a_n$ 表示一组数。

设 $f(i,j)$ 表示从 $a_i$ 到 $a_{i+2^{j-1}-1}$ 这个范围内的最大值，也就是以 $a_i$ 为起点连续 $2^j$ 个数的最大值。由于元素个数为 $2^j$ 个，所以从中间平均分成两部分，每一部分的元素个数刚好为 $2^{j-1}$ 个，也就是说，把 $f(i,j)$ 分为 $f(i,j-1)$ 和 $f(i+2^{j-1},j-1)$。

整个区间的最大值一定是左右两部分最大值的较大值，满足动态规划的最优化原理。

状态转移方程：$f(i,j)=\max (f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1)$，边界条件为 f[i][0]==a[i]。

预处理时间复杂度：$O(n\log n)$。

询问

要询问区间 $[l_i,r_i]$ 的最大值，则先求出最大的 $x$ 满足 $2^x\le r_i-l_i+1$，那么区间 $[l_i,r_i]=[l_i,l_i+2^x-1]\cup [r_i-2^x+1,r_i]$。

两个区间的元素个数都为 $2^x$，所以 $[l_i,r_i]$ 的最大值为 $\max (f(l_i,x),f(r_i-2^x+1,x))$，可以在 $O(1)$ 内计算出来。

虽然这两个区间有交集，但是对于求区间最值来说没有影响，这就是 ST 表适用于求区间最值的原因。

求区间 $[x,y]$ 最大值，直接给出表达式：
$$\begin{array}{rl}& \\ & k={\log }_2(y-x+1),\\ & ans=\max (f(x,k),f(y-2^k+1,k)).\end{array}$$

技巧

因为 cmath 库中的 log2 函数效率不高，通常还会使用 $O(N)$ 递推预处理出 $1\sim N$ 这 $N$ 种区间长度各自对应的 $k$ 值。具体地，$\lfloor {\log }_{2}d\rfloor =\lfloor {\log }_2\frac{d}{2}\rfloor +1$。

ST 表对比线段树

• ST 表的优势

  1. 实现非常简单

  2. 效率比线段树更高

• 线段树的优势

  1. 可以更好地维护动态的信息，而 ST 表不易推广到动态
  2. 可以维护更多的信息，而 ST 表只能维护最值

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代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=1e5+5,maxm=2e6+5;
int a[maxn],lg[maxn],f[maxn][25];

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}

void query(int l,int r)
{   
    int k=lg[r-l+1];
    cout<<max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k])<<'\n';
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int M,N;cin>>N>>M;
    lg[1]=0;
    for(int i=1;i<=N;i++) f[i][0]=read();
    for(int i=2;i<=N;i++) lg[i]=lg[i/2]+1;
    for(int j=1;j<=lg[N];j++)
        for(int i=1;i<=N-(1<<j)+1;i++) f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);    
    while(M--)
    {
        int l=read(),r=read();
        query(l,r);
    }
    return 0;
}