洛谷 P6225 [eJOI 2019] 异或橙子 题解

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洛谷 P6225

题目大意

现有一个长度为 $N$ 的数列 $a$，有 $q$ 次操作，第一类操作为将 $a_i$ 修改为 $j$，第二类操作为求 ${⨁}_{i=l}^u({⨁}_{j=i}^u{a}_j)$

思路分析

由异或的性质可得 $a\oplus a=0$ 且 $a\oplus 0=a$，同时异或拥有交换律和结合律，所以奇数个相同的数异或等于它本身，偶数个相同的数异或等于 $0$。

另外，我们设 $f_{l,r,x}$ $(l\le x\le r)$ 表示区间 $[l,r]$ 中包含 $a_x$ 的子区间的个数。那么包含 $a_x$ 的子区间必定可以表示为 $a_{[L,x)}$ ，$a_x$，$a_{(x,R]}$ 三部分。第一部分有 $C_{x-1-l+1}^1+C_{x-1-l+1}^0=x-l+1$ 种取法，第三部分有 $C_{r-(x+1)+1}^1+C_{r-(x+1)+1}^0=r-x+1$ 种取法，根据乘法原理，$f_{l,r,x}=(x-l)\times 1\times (r-x)=(x-l+1)(r-x+1)$。

因为 $(x-l+1)+(r-x+1)=r-l+2$，所以当 $r-l+2$ 为奇数，即 $l,r$ 奇偶性不同时，$x-l+1,r-x+1$ 必有一个为奇数，即 $x-l,r-x$ 中必有一个为偶数，所以 $f_{l,r,x}$ 为偶数。当 $r-l+2$ 为偶数，即 $l,r$ 奇偶性相同时，$x-l+1,r-x+1$ 同奇偶。若两者同奇，即 $l,r$ 与 $x$ 奇偶性相同，则 $f_{l,r,x}$ 为奇数，反之则为偶数。

而答案要求的等同于 ${⨁}_{i=l}^u(\underset{f_{l,u,i}个}{\underbrace{a_i\oplus a_i\oplus \cdots \oplus a_i}})$，并且

$$\underset{f_{l,u,i}个}{\underbrace{a_i\oplus a_i\oplus \cdots \oplus a_i}}=\{\begin{array}{ll}{a}_i& ,f_{l,u,i}\equiv 1(\mathrm{mod}2)\\ 0& ,f_{l,u,i}\equiv 0(\mathrm{mod}2)\end{array}$$

所以当 $l,u$ 奇偶性不同时，答案就为 $0$。当 $l,u$ 同奇偶时，若 $l,u$ 与 $i$ 奇偶性相同，则 $f_{l,u,i}$ 为奇数，$a_i$ 对答案的贡献为 $a_i$；若 $l,u$ 与 $i$ 奇偶性不同，则 $f_{l,u,i}$ 为偶数，$a_i$ 对答案的贡献为 $0$，即当 $l,u$ 同奇偶时，答案为 $a_l\oplus a_{l+2}\oplus \cdots \oplus a_u$。

我们可以用线段树维护区间 $[l,r]$ 中下标为奇数的元素的异或和与下标为偶数的元素的异或和。修改时只需将包含 $a_x$ 的区间先异或原来的值，再异或修改后的值，其中两个原来 $a_x$ 的值异或变为 $0$，对答案没有影响。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e5+10;
int n,q,opt,x,y;
int a[N],odd[N*4],even[N*4];// odd[] 维护奇数的异或和，even[] 维护偶数的异或和

inline void push_up(int x){
    odd[x]=odd[x*2]^odd[x*2+1];
    even[x]=even[x*2]^even[x*2+1];
}
void build(int l,int r,int x){
    if (l==r){
        if (l%2==0) even[x]=a[l];
        else odd[x]=a[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    build(l,mid,x*2);
    build(mid+1,r,x*2+1);
    push_up(x);
}
void update(int ux,int uc,int l,int r,int x){
    if (l==r){
        if (ux%2==0) even[x]=uc;
        else odd[x]=uc;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if (ux<=mid) update(ux,uc,l,mid,x*2);
    else update(ux,uc,mid+1,r,x*2+1);
    push_up(x);
}
int query(int ul,int ur,int l,int r,int x){
    if (ul<=l && ur>=r) return ul%2==0?even[x]:odd[x];
    int mid=(l+r)/2,ans=0; // 若 x 与 y 同为奇数则为 [l,r] 中下标为奇数的元素的异或和
    if (ul<=mid) ans^=query(ul,ur,l,mid,x*2);// 若 x 与 y 同为偶数则为 [l,r] 中下标为偶数的元素的异或和
    if (ur>=mid+1) ans^=query(ul,ur,mid+1,r,x*2+1);
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i);
    build(1,n,1);
    while (q--){
        scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);
        if (opt==1) update(x,y,1,n,1);
        else printf("%d\n",(x%2==y%2?query(x,y,1,n,1):0));
    }
    return 0;
}