二阶齿轮魔方-优快云博客

二阶齿轮魔方

1，魔方三要素V1

二阶齿轮魔方

1，魔方三要素V1

（1）组成部件

8个角块，其中4个大的互不相邻，4个小的互不相邻

大角块是9齿的，每个是40度，小角块是6齿的，每个是60度。

（2）可执行操作

整体几何形态有2种，一种是合并状态，一种是正方体从中间切开成2半，拉开状态。

一共有4类操作：

合并时，二分操作拉开，这一类有3种拉开操作
拉开时，合并成接近正方体，只有1种合并操作
合并时，旋转角块的朝向，只有1种全旋转操作，一定是所有角块同时旋转
拉开时，把一边的四个角块旋转朝向，有2种半旋转操作，因为有两边

所以，从某种角度上来说，一共有7种操作。

可以理解成，所有的操作中，每一个大角块要么不旋转要么顺时针旋转一格即40度，每一个小角块要么不旋转要么逆时针旋转一格即60度

（3）目标态

目标态是正方体，且每一面都是纯色。

PS：合并状态和正方体状态是有差别的，正方体状态指的是六面都是平整的面。

2，为什么是非固形非遗忘魔方

只有二阶齿轮魔方是非固形非遗忘魔方，高阶齿轮魔方都是固形遗忘魔方。

这是因为，只有二阶齿轮魔方有二分操作。

3，发现复原方法的过程记录

参考获得魔方复原方法的方法论

4，复原方法V1

我运用拉开操作、合并操作、全旋转操作、半旋转操作打乱之后的魔方：

（1）恢复正方体外形

上面的例子，只用全旋转操作是无法变成正方体状态的，一定需要拉开操作、合并操作、半旋转操作。

首先把一面弄平整，也就是一边的4个角块弄平整。

然后拉开，把另外4个角块单独旋转到尽量平整，最后合并。

此时只有2种情况，要么恢复了正方体外形，要么只有1个大角块偏了40度。

处理方法分为3步

第一步，1次拉开操作+若干次半旋转操作+1次合并操作，变成下面这种轴对称外形

这里有2个大角块分别偏了40度和80度。

第二步，1次拉开操作+若干次半旋转操作+1次合并操作，变成下面这种非轴对称外形

这里的拉开是要把上面的2个大角块分到不同的两边，即只有一个大角块经过若干次半旋转操作恢复朝向，同时这一边的另外一个大角块朝向也会改变。

这里有2个大角块分别偏了40度和40度。

第三步，1次拉开操作+若干次半旋转操作+1次合并操作，恢复正方体外形

显然，这里的拉开是要把上面的2个大角块分到相同的两边。

（2）调整4个小角块的朝向

此时，4个小角块的朝向一定是复原的，无需调整

（3）调整4个大角块的朝向

首先定义一个大角换向公式：1次拉开操作+6次半旋转操作+1次合并操作

我们只对正方体外形的状态使用这个公式，那么公式的效果就是2个小角旋转了6格，也就是360度，朝向不变，2个大角旋转了240度，朝向改变，另外4个角没有进行半旋转操作自然朝向不变。

不停的使用大角换向公式，要么直接复原，要么只差1个大角块需要调整朝向。

我们给4个大角块编号为1234

这里，1号大角块还需要120度，即3格，其他7个角块已经恢复朝向。

1号大角块的调整分为3步。

第一步，对1号2号大角块所在的半个正方体执行1次大角换向公式。

第二步，对1号3号大角块所在的半个正方体执行1次大角换向公式。

第三步，对2号3号大角块所在的半个正方体执行2次大角换向公式。

此时必定复原：

5，魔方三要素V2

（1）组成部件

同V1

（2）可执行操作

按照六轴魔方去理解，二阶魔方一共有6种操作：

对于6个面的任意一面，拉出4个角块，执行半旋转操作，使得2个大角块顺时针旋转1格（40度），2个小角块逆时针旋转1格（60度），再合并成正方体。

简单来说就是，拉出，旋转，合并。

（3）实际操作

如果把上下左右前后6个面的操作分别记作P1 P2 P3 P4 P5 P6

则Pn和Pn的连续操作，以及P（2n-1）和P（2n）的连续操作，都可以简化，把“拉出，旋转，合并，拉出，旋转，合并”简化成“拉出，旋转，旋转，合并”

连续多个满足条件的操作可以简化成“拉出，旋转，旋转......旋转，旋转，合并”

所以，这里的6个操作并不完全代表真实的操作，但却是一种双射。

（3）目标态

同V1

6，复原方法V2

（1）操作最小集

因为P1+P2=P3+P4=P5+P6

所以，保留P1+P2，其实这就是魔方三要素V1中的全旋转操作，然后P1P2中留一个，P3P4中留一个，P5P6中留一个，这样就只剩4个了。

显然，对于任意合并状态（不要求是正方体外形，只要是合并的不是拉开的就行），只需要这4个操作的无序组合即可复原。

（2）无序组合

因为Pi+Pj=Pj+Pi恒成立，所以我们只需要看各种操作的数量，而不关心顺序。

这个特性在魔方里面是极为少见的，在我玩过的40多种魔方里面还是第一次见到。

（3）编号

按照标准颜色朝向摆好

这里的1368是大角，2457是小角

（4）操作向量

把每个操作对每个角的影响记为1或者0，1表示旋转一格（大角顺时针，小角逆时针），0表示不变

则上面一层的操作是向量（1 1 1 1 0 0 0 0），右边一层的操作是向量（0 1 1 0 0 1 1 0），后面一层（黄色层）的操作是向量（1 1 0 0 1 1 0 0），全旋转是（1 1 1 1 1 1 1 1）

假设8个角块需要旋转（大角顺时针，小角逆时针）的格数分别是c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8，这里的格数指的就是旋转到复原的朝向需要多少格。

假设4个操作数分别是x1 x2 x3 x4

则有不定方程x1（1 1 1 1 0 0 0 0）+ x2（0 1 1 0 0 1 1 0）+x3（1 1 0 0 1 1 0 0）+x4（1 1 1 1 1 1 1 1）=（c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8）+ （9x5 6x6 9x7 6x8 6x9 9x10 6x11 9x12）

去掉向量写法，就变成：

x1+x3+x4=c1+9x5（1）

x1+x2+x3+x4=c2+6x6（2）

x1+x2+x4=c3+9x7（3）

x1+x4=c4+6x8（4）

x3+x4=c5+6x9（5）

x2+x3+x4=c6+9x10（6）

x2+x4=c7+6x11（7）

x4=c8+9x12（8）

这是12元一次8方程组，c1到c8是给定常数，x1到x12是待求解的未知数。

对于指定的c1到c8，只需要求出这个不定方程组的任意一个x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0的特解即可复原魔方。

（5）对任意c1到c8的通解

这里，我不需要c1到c8的特定值，而是对所有可能的值去求解，而且我不止求特解，而是求出所有通解。

所以难度比单独求解1个具体的方程要难2个台阶。

所幸，很顺利的推导出来了，参考不定方程组中的“12元一次8方程组”

通解：

c9=c1-c8
c10=c3-c8
c11=c6-c8
c12=(c9+c10+c11)%2
c13=(c9+c10-c11+9c12)/2
c14=(c10+c11-c9+9c12)/2
c15=(c9+c11-c10+9c12)/2
c16=(c2+c4+c5+c7)/2
c17=(c8-c16+c2+d4)%2
c19=c2-c16+3c17
c20=(c4+c19+c13)%2
c21=(c7+c19+c14)%2
c22=(c5+c19+c15)%2
x1=c13+18d9+9c20
x2=c14+18d10+9c21
x3=c15+18d11+9c22
x4=c8+9d4
x5=x12+c12+2d9+c20+2d11+c22
x6=((c8-c16+c2)/3+3d4+c17)/2+c17+3d9-((c4+c19-c13)/3-3c20)/2+3d11-((c5+c19-c15)/3-3c22)/2+3d10-((c7+c19-c14)/3-3c21)/2
x7=x12+c12+2d9+c20+2d10+c21
x8=((c8-c16+c2)/3+3d4+c17)/2+3d9-((c4+c19-c13)/3-3c20)/2
x9=((c8-c16+c2)/3+3d4+c17)/2+3d11-((c5+c19-c15)/3-3c22)/2
x10=x12+c12+2d10+c21+2d11+c22
x11=((c8-c16+c2)/3+3d4+c17)/2+3d10-((c7+c19-c14)/3-3c21)/2
x12=d4

（6）特解

若取d4=(c8+c16+c2)%2，则进一步化简为

c9=c1-c8
c10=c3-c8
c11=c6-c8
c12=(c9+c10+c11)%2
c13=(c9+c10-c11+9c12)/2
c14=(c10+c11-c9+9c12)/2
c15=(c9+c11-c10+9c12)/2
c16=(c2+c4+c5+c7)/2
c19=c2-c16
c20=(c4+c19+c13)%2
c21=(c7+c19+c14)%2
c22=(c5+c19+c15)%2
c23=(c8+c16+c2)%2
x1=c13+18d9+9c20
x2=c14+18d10+9c21
x3=c15+18d11+9c22
x4=c8+9c23
x5=x12+c12+2d9+c20+2d11+c22
x6=((c8-c16+c2)/3+3c23)/2+3d9-((c4+c19-c13)/3-3c20)/2+3d11-((c5+c19-c15)/3-3c22)/2+3d10-((c7+c19-c14)/3-3c21)/2
x7=x12+c12+2d9+c20+2d10+c21
x8=((c8-c16+c2)/3+3c23)/2+3d9-((c4+c19-c13)/3-3c20)/2
x9=((c8-c16+c2)/3+3c23)/2+3d11-((c5+c19-c15)/3-3c22)/2
x10=x12+c12+2d10+c21+2d11+c22
x11=((c8-c16+c2)/3+3c23)/2+3d10-((c7+c19-c14)/3-3c21)/2
x12=c23

若只关心x1 x2 x3 x4，则进一步化简为

c24=c1+c3+c6-c8
c25=(c24+c24%2*9)/2
c26=c25+(c2-c4-c5-c7)/2
x1=c25-c6+(c4+c6+c26)%2*9+18d9
x2=c25-c1+(c7+c1+c26)%2*9+18d10
x3=c25-c3+(c5+c3+c26)%2*9+18d11
x4=c8+(c8+c2+(c2+c4+c5+c7)/2)%2*9