集合论的公理系统

一，罗素悖论

罗素悖论：由所有不包含自身的集合所组成的集合，这个集合是否包含自身呢？

更多悖论参考经典悖论

产生悖论的原因是，集合的定义太宽松了，只要形如“由所有***构成的集合”都可以用来定义集合，这样就可能产生自我指涉。

消除悖论的方法是，建立公理体系，只有满足特定语法的句子，才能用来描述一个集合。这样，就消除了自我指涉。

二，ZFC公理系统

1，7条公理

有2种主流的版本，9条公理的版本，10条公理的版本。

实际上公理最小集是7条公理：外延公理、幂集公理、并集公理、无限公理、良基公理、选择公理、替代公理模式

关于公理模式，参考公理系统、形式系统

2，9条公理

根据上面的7条公理，可以推出分离公理模式、配对公理

3，10条公理

根据上面的7条公理，可以推出空集公理

一般来说，一个公理系统只会选择公理最小集作为公理，可以推导出来的应该叫定理。可能是因为分离公理、配对公理、空集公理也很基本，为了方便也当做公理了。

三，ZFC公理系统的10条公理

1，外延公理

公理：给定任何集合A和任何集合B，A=B，当且仅当【给定任何元素x，x∈A当且仅当x∈B。】

翻译：2个集合相等，等价于，2个集合的元素一一对应。

2，幂集公理

对于任何一个集合A，存在着一个集合B，它的元恰是A的各个子集。

翻译：集合存在幂集。

3，并集公理

任给一个元素全为集合的集合A，存在集合B，给定任何元素x，x∈B当且仅当x∈A中的某个元素。

翻译：能组成集合的那些集合，存在并集。

4，无限公理

存在一个集合，使得空集是其元素，且对其任意元素x，x∪{x} 也是其元素。

翻译：存在一个包含所有自然数的集合。

5，良基公理（正则公理）

对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。

翻译：集合的嵌套不能无限递归。

6，选择公理

对任意集c存在以c为定义域的选择函数g，使得对c的每个非空元集x，g(x)∈x。

PS：集合A的一个元集，指的是A中的一个元素，这个元素本身是一个集合类型。

7，替代公理模式

8，分离公理模式

9，配对公理

10，空集公理