数论——同余

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#数论

于 2021-11-03 01:04:02 首次发布

博客围绕数论展开，但具体内容较少，未呈现详细信息。数论是信息技术领域中数学相关的重要内容。

一，同余

CSU 1347 Last Digit

HDU 1061 Rightmost Digit

51Nod 1004 n^n的末位数字

CSU 1266 Divisible by 11

力扣 2598. 执行操作后的最大 MEX

二，高次同余式

三，2024年春晚魔术揭秘

一，同余

CSU 1347 Last Digit

题目：

Description
The function f(n, k) is defined by f(n, k) = 1k + 2k + 3k +...+ nk. If you know the value of n and k, could you tell us the last digit of f(n, k)?
For example, if n is 3 and k is 2, f(n, k) = f(3, 2) = 12 + 22 + 32 = 14. So the last digit of f(n, k) is 4.

Input
The first line has an integer T (1 <= T <= 100), means there are T test cases.
For each test case, there is only one line with two integers n, k (1 <= n, k <= 109), which have the same meaning as above.

Output
For each test case, print the last digit of f(n, k) in one line.

Sample Input
10
1 1
8 4
2 5
3 2
5 2
8 3
2 4
7 999999997
999999998 2
1000000000 1000000000
Sample Output
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

思路：

按照mod2的余数和mod5的余数分开计算即可

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
 
int main()
{
	int t, n, k;
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		cin >> n >> k;
		int mod2 = 0, mod5 = 0;
		if (n % 4 == 1 || n % 4 == 2)mod2 = 1;
		if (k % 4)
		{
			k %= 4, n %= 5;
			for (int i = 1; i <= n; i++)
			{
				int r = 1;
				for (int j = 1; j <= k; j++)r *= i;
				mod5 += r;
			}
		}
		else mod5 = n - n / 5;
		mod5 %= 5;
		if (mod5 % 2 != mod2)mod5 += 5;
		cout << mod5 << endl;
	}
	return 0;
}

HDU 1061 Rightmost Digit

题目：

Description

Given a positive integer N, you should output the most right digit of N^N.
Input

The input contains several test cases. The first line of the input is a single integer T which is the number of test cases. T test cases follow.
Each test case contains a single positive integer N(1<=N<=1,000,000,000).

Output

For each test case, you should output the rightmost digit of N^N.

Sample Input

2
3
4

Sample Output

7
6

这个题目，无非就是把N分成10类。

不管N是多少，N^(k+4)和N^k都是模10同余的，利用这个就可以解决问题。

当然了，对有的N来说，周期不是4，是2或者1，差别不大。

我的代码：

#include<iostream>
using namespace std;
 
int main()
{
	int n,t;
	cin >> t;
	while (t--)
	{
		cin >> n;
		int nn = n % 10;
		if (nn == 0 || nn == 1 || nn == 5 || nn == 6 || nn == 9)cout << nn;
		else if (nn == 4)cout << 6;
		else
		{
			int m = n % 4;
			if (nn == 3 || nn == 7)
			{
				if (m == 1)cout << nn;
				else cout << 10 - nn;
			}
			else
			{
				if (m == 2)cout << 4;
				else cout << 6;
			}
		}
		cout << endl;
	}
	return 0;
}

51Nod 1004 n^n的末位数字

给出一个整数N，输出N^N（N的N次方）的十进制表示的末位数字。

Input

一个数N（1 <= N <= 10^9）

Output

输出N^N的末位数字

Sample Input

Sample Output

本题和HDOJ-1061 Rightmost Digit一样

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
	int n;
    cin >> n;
    int nn = n % 10;
    if (nn == 0 || nn == 1 || nn == 5 || nn == 6 || nn == 9)cout << nn;
    else if (nn == 4)cout << 6;
    else
    {
        int m = n % 4;
        if (nn == 3 || nn == 7)
        {
            if (m == 1)cout << nn;
            else cout << 10 - nn;
        }
        else
        {
            if (m == 2)cout << 4;
            else cout << 6;
        }
    }
    cout << endl;
	return 0;
}

CSU 1266 Divisible by 11

题目：

Description
对于一个整数x，记x的自右向左的各位分别为第1位，第2位，……如果x奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的结果能被11整除，那么x就能被11整除。

Input
输入数据的第一行包含一个整数T (1 <= T <= 200)，表示接下来一共有T组测试数据。

每组测试数据占一行，包含一个位数不超过100位的正整数x。

Output
对于每组测试数据，如果x能被11整除，输出“Yes”（不包括引号），否则输出“No”（不包括引号）。

Sample Input
3
111
1969
11111111111111111111
Sample Output
No
Yes
Yes

代码：

#include<iostream>
#include<string.h>
using namespace std;
 
int main()
{
	int T, s;
	char ch[101];
	cin >> T;	
	for (int i = 0; i < T; i++)
	{
		cin >> ch;
		s = 0;
		for (int i = 0; i < strlen(ch); i++)
			if (i % 2)s += ch[i] - '0';	else s -= ch[i] - '0';
		if (s % 11==0)cout << "Yes\n"; else cout << "No\n";
	}
	return 0;
}

力扣 2598. 执行操作后的最大 MEX

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums 和一个整数 value 。

在一步操作中，你可以对 nums 中的任一元素加上或减去 value 。

例如，如果 nums = [1,2,3] 且 value = 2 ，你可以选择 nums[0] 减去 value ，得到 nums = [-1,2,3] 。

数组的 MEX (minimum excluded) 是指其中数组中缺失的最小非负整数。

例如，[-1,2,3] 的 MEX 是 0 ，而 [1,0,3] 的 MEX 是 2 。

返回在执行上述操作 任意次 后，nums 的最大 MEX 。

示例 1：

输入：nums = [1,-10,7,13,6,8], value = 5
输出：4
解释：执行下述操作可以得到这一结果：
- nums[1] 加上 value 两次，nums = [1,0,7,13,6,8]
- nums[2] 减去 value 一次，nums = [1,0,2,13,6,8]
- nums[3] 减去 value 两次，nums = [1,0,2,3,6,8]
nums 的 MEX 是 4 。可以证明 4 是可以取到的最大 MEX 。

示例 2：

输入：nums = [1,-10,7,13,6,8], value = 7
输出：2
解释：执行下述操作可以得到这一结果：
- nums[2] 减去 value 一次，nums = [1,-10,0,13,6,8]
nums 的 MEX 是 2 。可以证明 2 是可以取到的最大 MEX 。

提示：

1 <= nums.length, value <= 105
-109 <= nums[i] <= 109

class Solution {
public:
    int findSmallestInteger(vector<int>& nums, int k) {
        map<int,int>m;
        for(auto x:nums)m[(x%k+k)%k]++;
        int mins=INT_MAX,id=0;
        for(int i=0;i<k;i++){
            if(mins>m[i])mins=m[i],id=i;
        }
        return id+mins*k;
    }
};