欧拉升序数

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#sx

于 2021-10-29 01:35:55 首次发布
本文深入探讨了欧拉升序数的概念，包括其定义、性质和递推公式。欧拉数在排列组合中扮演重要角色，特别是Worpitzky恒等式揭示了它与斯特林数的深刻联系。此外，我们还讨论了二阶欧拉数的递推关系及其独特性质。

目录

一，欧拉升序数

二，性质

三，恒等式

四，二阶欧拉数

一，欧拉升序数

用\left \langle \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right \rangle表示，从1到n这n个数的所有全排列中，有多少个排列中恰好包含k个升高。

升高指的是相邻2个数之间，a_i<a_{i+1}

出自《具体数学》

二，性质

对称性：

\left \langle \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right \rangle=\left \langle \begin{matrix} n \\ n-1-k \end{matrix} \right \rangle

递推式：

三，恒等式

Worpitzky恒等式：

x^{n}=\sum_{k}\left\langle\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\rangle\left(\begin{array}{c} x+k \\ n \end{array}\right)

其他恒等式：

四，二阶欧拉数

递推式：

性质：

和斯特林数的关系： 

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