高等数学——积分

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目录

一，求积分

二，积分题目

三，积分表推导

（1）含有ax+b的积分

（2）含有 $\sqrt{ax+b}$ 的积分

（3）含有 $x^2\pm a^2$ 的积分

（4）含有 $ax^2+b$ (a>0)的积分

（5）含有 $ax^2+bx+c$ (a>0)的积分

（6）含有 $\sqrt{x^2+a^2}$ (a>0)的积分

（7）含有 $\sqrt{x^2-a^2}$ (a>0)的积分

（8）含有 $\sqrt{a^2-x^2}$ (a>0)的积分

（9）含有 $\sqrt{\pm ax^2+bx+c}$ (a>0)的积分

（10）含有 $\sqrt{\pm \frac{x-a}{x-b}}$ 或 $\sqrt{(x-a)(b-x)}$ 的积分

（11）含有三角函数的积分

（12）含有反三角函数的积分

（13）含有指数函数的积分

（14）含有对数函数的积分

（15）含有双曲函数的积分

（16）定积分

一，求积分

二，积分题目

1， $x=y(x-y)^2$ ，求 $\int\frac{dx}{x-3y}$

解：取t=x-y，则 $y=\frac{t}{t^2-1},x=\frac{t^3}{t^2-1}$

$\int\frac{dx}{x-3y}=\int\frac{tdt}{t^2-1}=\frac{1}{2}ln(t^2-1)=\frac{1}{2}ln(\frac{x}{y}-1)$

2，证明 $\int_0^x(x-t)f(t)dt=\int_0^x(\int_0^tf(u)du)dt$

解：两边各自求导可得，导数恒等，两边取x=0结果都为0，所以两边恒等

3，求 $\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{sinx}{sinx+cosx}dx$

用对称性

4， $f(x)=\int_0^x\frac{sint}{\pi-t}dt$ ，求 $\int_0^\pi f(x)dx$

解法一：用二重积分

解法二： $\int_0^\pi f(x)dx=xf(x)|_0^\pi-\int_0^\pi xf'(x)dx$ $=\pi\int_0^\pi\frac{sint}{\pi-t}dt-\int_0^\pi\frac{xsinx}{\pi-x}dx=\int_0^\pi sinxdx=2$

5，1<f(x)<3，证明 $\int_0^1f(x)dx\int_0^1\frac{1}{f(x)}dx<\frac{4}{3}$

证明： $(f(x)-1)(\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{3})>0$ 即 $\frac{f(x)}{3}+\frac{1}{f(x)}<\frac{4}{3}$

所以 $\int_0^1\frac{f(x)}{3}dx + \int_0^1\frac{1}{f(x)}dx<\frac{4}{3}$ ，再根据基本不等式即证

三，积分表推导

（1）含有ax+b的积分

（2）含有 $\sqrt{ax+b}$ 的积分

（3）含有 $x^2\pm a^2$ 的积分

（4）含有 $ax^2+b$ (a>0)的积分

（5）含有 $ax^2+bx+c$ (a>0)的积分

（6）含有 $\sqrt{x^2+a^2}$ (a>0)的积分

（7）含有 $\sqrt{x^2-a^2}$ (a>0)的积分

（8）含有 $\sqrt{a^2-x^2}$ (a>0)的积分

（9）含有 $\sqrt{\pm ax^2+bx+c}$ (a>0)的积分

（10）含有 $\sqrt{\pm \frac{x-a}{x-b}}$ 或 $\sqrt{(x-a)(b-x)}$ 的积分

（11）含有三角函数的积分

（12）含有反三角函数的积分

（13）含有指数函数的积分

（14）含有对数函数的积分

（15）含有双曲函数的积分

略

（16）定积分

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