大学生数学竞赛（高数篇）

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#数学建模

于 2021-03-25 21:27:59 首次发布

大学生数学竞赛，不是数学建模，分为数学组和非数学组，我是非数学组。

全国初赛只考高数，全国总决赛考高数和线性代数。当年我是我们学校唯一一个进入全国总决赛的，非数学组就我一个，数学组全军覆没。

下面贴一下我当年的笔记和习题：

一，知识点

1，达布定理

若f在[a,b]上可导， $f_+^{'}(a)\neq f_-^{'}(b)$ ，则对 $f_+^{'}(a)$ 、 $f_-^{'}(b)$ 之间的任意数k，都有 $\exists \varepsilon \in (a,b), \, f^{'}(\varepsilon)=k$

2，达布定理的推论

若f在区间I上满足导数不为0恒成立，则f在I上严格单调

3，施笃兹定理（Stolz）

若数列{bi}递增无上界， $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$ 存在或者为正负无穷

则 $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$

4，导数公式

$(\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right) \: \: \: \: \: \: (\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$

5，泰勒展开公式

$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x 3}{3 !}+\cdots$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^{3}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !} +\cdots\\ \cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\cdots$

$\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots\\ \ln (1-x)=-\left(x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots\right)$

6，柯西不等式

设f(x), g(x)在区间[a,b]上连续, 则 $\left(\int_{a}^{b} f^{2}(x) d x\right)\left(\int_{a}^{b} g^{2}(x) d x\right) \geqslant\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x\right)^{2}$

7，积分中值定理

设f(x)在区间[a,b]上可连续, g(x)在区间[a,b]上可积且不变号，则

$\exists \varepsilon \in[a, b], \int _a^b f(x) g(x) d x=f(\varepsilon) \int _a^b g(x)dx$

二，极限题

1，施笃兹定理

（1） $X_{1} \in(0,1), \quad X_{n+1}=X_{n}\left(1-X_{n}\right) \quad prove \lim _{n \rightarrow \infty} n X_{n}=1$
证明: $if \: 0<X_{n}<1, \, then\: \: 0<X_{n+1}=X_{n}\left(1-X_{n}\right)<1$

$\therefore \forall{n}, \,0<X_{n}<1, \quad and \left\{X_{n}\right\}$ 递减
$\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} X_{n}=c$

$\therefore c=c(1-c) ,so\: c=0$
$as \: \frac{1}{X_{n+1}}=\frac{1}{X_{n}}+\frac{1}{1-X_{n}}$
$\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n X_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{X_{n+1}}-\frac1{X_n}}{n+1-n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\frac{1}{1-X_{n}}=1$
$\therefore\lim_{n \rightarrow \infty}n X_{n}=1$

（2） $a_{0}=0,\, a_{1}=1+\sin (-1), \quad a_{n}=1+\sin \left(a_{n-1}-1\right), \quad solve\quad _{n \rightarrow \infty}^{\lim } \frac{1}{n} \quad \sum_{k=1}^{n} a_{k}$

解: $let\: b_{n}=a_{n}-1\: then\: b_{n}=\sin b_{n-1}$
$\therefore\left|b_{n}\right|=\left|\sin b_{n-1}\right| \leq\left|b_{n-1}\right|\\ \therefore \quad \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=c\\ \therefore c=\sin c \: so\: c=0$
$\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1$
$\therefore \quad _{n \rightarrow \infty}^{\lim } \frac{1}{n} \quad \sum_{k=1}^{n} a_{k}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{n+1-n}=1$

2，其他极限题

（1） $x_n=sin\,x_{n-1}$ ，证明 $n \to \infty$ 时， $x_n\sim \sqrt\frac{3}{n}$

（2） ${ b }_{n}=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{C_{n}^{k}} { \quad solve\quad }_{n \rightarrow \infty}^{l i m} b_{n}$

解: $b_{n}=\frac{\sum_{k=0}^{n} k !(n-k)!}{n!}$
$\therefore(n+2) b_{n}=\frac{\sum_{k=0}^{n} k !(n-k) !(n+1-k+k+1)}{n !}\\ =\frac{\sum_{k=0}^{n} k !(n+1-k) !+\sum_{k=0}^{n} (k+1) !(n-k) !}{n !}\\ =\frac{\sum_{k=0}^{n} k !(n+1-k) !+\sum_{k=0}^{n+1} k !(n+1-k) !-(n+1) !}{n !}\\ =\frac{2 \sum_{k=0}^{n+1} k !(n+1-k) !-2(n+1) !}{n !}\\ =2(n+1) b_{n+1}-2(n+1)$

$\therefore \: b_{n+1}=\frac{(n+2) b_{n}}{2(n+1)}+1$

$if\: 2<b_{n}<2+\frac{6}{n}, \quad n>2$

$then\: b_{n+1}<\frac{n+2}{2(n+1)}\left(2+\frac{6}{n}\right)+1=2+\frac{1}{n+1}+\frac{3(n+2)}{n(n+1)} \\ \quad \leq 2+\frac{1}{n+1}+\frac{5}{n+1}=2+\frac{6}{n+1} \\ b_{n+1}>\frac{n+2}{n+1}+1>2 \\ then\: 2<b_{n+1}<\frac{6}{n+1}$

$as \: 2<b_{3}=\frac{8}{3}<4 \\ \therefore 2<b_{n}<2+\frac{6}{n} (n>2) \\ \therefore \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=2$

（3） $a_{1}=\sqrt{\frac{1}{2}} \,,\,a_{n}=\sqrt{\frac{1+a_{n-1}}{2}} \,,\,solve\: \: \lim _{n \rightarrow \infty} a_{1} a_{2} \cdots a_{n}$
证明: $a_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi}{4},\, a_{n-1}=2 a_{n}^{2}-1, \: like\: \cos 2 \theta=2 \cos^2 \theta-1$
$if\, a_{n-1}=\cos \frac{\pi}{2^{n}} ,\: then\: a_{n}=\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}$
$\therefore \forall{n}, a_{n}=\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}\\ \therefore a_{1} a_{2} \cdots a_{n}=\cos \frac{\pi}{2^{2}} \cos \frac{\pi}{2^{3}} \cdots \cos \frac{\pi}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n} \sin \frac{\pi}{2^{n+1}}}\\ \therefore \lim _{n \rightarrow \infty} a_{1} a_{2} \cdots a_{n}=\frac{2}{\pi}$

（4） $a_{1}>0, b_{1}>0, c_{1}>0, a_{1}+b_{1}+c_{1}=1,$ $a_{n+1}=a_{n}^{2}+2 b_{n} c_{n}, b_{n+1}=b_{n}^{2}+2 a_{n} c_{n}, c_{n+1}=c_{n}^{2}+2 a_{n} b_{n}, \quad$ 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 存在并求它
解: $a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}=\left(a_{n}+b_{n}+c_{n}\right)^{2}=1$

方法1 ( 我的方法)
$a_{n+1}{ }^{2}+b_{n+1}{ }^{2}+c_{n+1}{ }^{2}=\sum a_{n}{ }^{4}+4 a_{n} b_{n} c_{n} \sum a_{n}+4 \sum a_{n}{ }^{2} b_{n}{ }^{2}\\ =\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}\right)^{2}+2\left(\sum a_{n}^{2} b_{n}^{2}+2 a_{n} b_{n} c_{n} \sum a_{n}\right)\\ =\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}\right)^{2}+2\left(a_{n} b_{n}+b_{n} c_{n}+c_{n} a_{n}\right)^{2}$
$let\: S_{n}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2} { \: then\: } \frac{1}{3} \leq S_{n}<a_{n}+b_{n}+c_{n}=1\\ \therefore S_{n+1}=S_{n}^{2}+2\left(\frac{1-S_{n}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2} S_{n}^{2}-S_{n}+\frac{1}{2}=S_{n}+\frac{1}{2}\left(S_{n}-1\right)\left(3 S_{n}-1\right)<S_{n}$

$\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}$ 存在, 设为c $\left(\frac{1}{3} \leq c<1\right)$

$\text { then } c=\frac{3}{2} c^{2}-c+\frac{1}{2} \text { \: so } c=\frac{1}{3}\\ \therefore \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}=\frac{1}{3}\\$

由于柯西不等式， $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\frac{1}{3}$
方法 2 (书上的方法)
${ (1)let } M_{n}=\max \left\{a_{n}, b_{n}, c_{n}\right\}, m_{n}=\min \left\{a_{n}, b_{n}, c_{n}\right\}\\ \text { if } a_{n} \geq b_{n} \geq c_{n}, then\: M_{n}=a_{n}, \\ \quad m_{n}=c_{n} a_{n+1}=a_{n}^{2}+2 b_{n} c_{n}<a_{n}^{2}+a_{n} b_{n}+a_{n} c_{n}=a_{n}=M_{n}\\ b_{n+1}=b_{n}^{2}+2 a_{n} c_{n}<a_{n}^{2}+a_{n} b_{n}+a_{n} c_{n}=a_{n}=M_{n}\\ c_{n+1}=c_{n}^{2}+2 a_{n} c_{n}<a_{n} c_{n}+a_{n} b_{n}+a_{n}^{2}=a_{n}=M_{n}\\ \therefore M_{n+1}=\max \left\{a_{n+1}, b_{n+1}, c_{n+1}\right\}<M_{n}\\$
同理， $m_{n+1}>m_{n}$
(2) $M_{n+1}-m_{n+1} \leq\left(M_{n}-m_{n}\right)^{2}$ (证明和上面差不多, 略)
$\therefore \lim _{n \rightarrow \infty} M_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} m_{n}\\ \text { so } \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\frac{1}{3}$

（5） $a_1=1,a_n=n(a_{n+1}+1)$ ，求 $\lim _{n \to \infty}\coprod _{k=1}^n(1+\frac{1}{a_k})$

（6）求 $\lim_{n\to\infty }n\,sin(2\pi en!)$

（7）求证 $\lim_{n\rightarrow \infty }(1+n+\frac{n^2}{2!}+...+\frac{n^n}{n!})e^{-n}=1/2$

（8）求 $\lim_{x\to\infty}\frac{tan(tanx)-sin(sinx)}{tanx-sinx}$

（9）f(x)在[a,b]上连续且非负，最大值为M，求证： $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\int _a^b(f(x))^ndx}=M$

三，罗尔定理、中值定理、达布定理

1，罗尔定理

（1）f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0, f(1)=0，f(1/2)=1，证明 $\exists \varepsilon \in(0,1),\,f'(\varepsilon )=1$

（2）f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0, f(1)=0，f(1/2)=1

证明： $\forall \lambda,\exists\xi \in(0,1),\,f'(\xi)-\lambda(f(\xi)-\xi)=1$

（3）fk可导，f(a)=f(b)=0，证明 $\exists\eta \in(a,b),f(\eta)+f'(\eta)=0$

（4）证明：若n次实系数多项式P(x)的n个根都是实数，则它的各阶导数P'(x)、P''(x)、... $P^{(n-1)}(x)$ 都只有实根

（5）f(x)和g(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0， $\forall x\in(a,b),\,g(x)\neq 0,\,g''(x)\neq 0$

证明： $\exists \xi \in(a,b),\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f''(\xi)}{g''(\xi)}$

2，微分中植定理

（1）f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0, f(1)=1，证明：

① $\exists \alpha\in (0,1),\, f(\alpha )=1-\alpha$ ② $\exists \varepsilon ,\eta \in(0,1),\,f'(\varepsilon )f'(\eta )=1$

（2）已知f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0, f(1)=1/3，证明： $\exists \varepsilon \in(0,1/2),\eta\in(1/2,1),\,f'(\varepsilon )+f'(\eta )=\varepsilon ^2+\eta ^2$

（3）f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0, f(1)=1, $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3>0,\,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$ ，证明：存在3个不同的数 $x_1,x_2,x_3,\,\frac{\lambda_1}{f'(x_1)}+\frac{\lambda_2}{f'(x_2)}+\frac{\lambda_3}{f'(x_3)}=1$

3，柯西中值定理

（1）f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f'(x)≠0，证明 $\exists \varepsilon ,\eta \in(a,b),\,\frac{f'(\varepsilon )}{f'(\eta )}=\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{-\eta }$

4，积分中值定理

（1）f(x)在[a,b]上有连续的导数，证明

$\lim_{n\to\infty}n\left ( \int_a^bf(x)dx-\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^nf(a+\frac{k(b-a)}{n}) \right )=\frac{b-a}{2}(f(a)-f(b))$

5，达布定理

（1）f(x)在[0,1]上可导， $f(1)=2\int _0^{\frac{1}{2}}xf(x)dx$ ，证明 $\exists \theta \in[0,1],f'(\theta )=-\frac{f(\theta )}{\theta }$

（2）f(x)二次连续可微， $\forall x,|f(x)|\leq 1,f^2(0)+(f'(0))^2=4$ ，证明： $\exists x_0,f(x_0)+f''(x_0)=0$

（3）设f(x)在 $[0,+\infty)$ 上可导， $0\leq f(x)\leq \frac {x}{1+x^2}$ ，证明 $\exists\varepsilon >0,\,f'(\varepsilon )=\frac{1-\varepsilon ^2}{(1+\varepsilon ^2)^2}$

四，积分

1，定积分

（1）求 $\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n+1})$

（2）求 $\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^{n^2}\frac{n}{n^2+j^2}$

（3）p>0，求 $\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+...+n^p}{n^{p+1}}$

2，二重积分

（1） $f(x)=\int_x^{\sqrt x}\frac{sin\,t}{t}dt$ ，求 $I=\int_0^1f(x)dx$

（2） $f(x)=\int_0^{x}\frac{sin\,t}{\pi-t}dt$ ，求 $I=\int_0^\pi f(x)dx$

3，积分上限函数

（1）f(x)在[0,1]上可导，0<=f'(x)<=1, f(0)=0, 证明 $(\int_0^1f(x)dx)^2\geq\int_0^1f^3(x)dx$

（2）f(x)在[a,b]上连续且严格递增，证明 $(a,b)\int_a^bf(x)dx<2\int_a^bxf(x)dx$

（3）f(x)在 $(0,+\infty)$ 内连续， $f(1)=\frac{5}{2}, \,\forall x,t>0,\int_1^{tx}f(u)du=t\int_1^{x}f(u)du+x\int_1^{t}f(u)du$ ，求f(x)

（4）f(x)在 $[0,\frac{\pi}{4}]$ 上可导且单调， $\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=\int_0^xt\frac{cost-sint}{cost+sint}dt$ ，其中 $f^{-1}$ 是f的反函数，求f(x)

（5）f(x)连续， $\int_0^xf(2x-t)tdt=\frac{1}{2}arctan(x^2),\,f(1)=1$ ，求 $\int_1^2f(x)dx$

（6）设函数f(x)在[a.b]上有连续导数，f(a)=0，证明 $\int_a^bf^2(x)dx\leq\frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b(f'(x))^2dx$

五，微分方程

1，普通微分方程

（1） $\forall u,v,\,\frac{f(u)-f(v)}{u-v}=\alpha f'(u)+\beta f'(v)$ ，其中常数 $\alpha ,\beta >0,\,\alpha +\beta =1$ ，求f(x)

（2）f(x)二次可微，f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x)，∀x, g(x)>=0，证明|f(x)|有界

2，特殊微分方程

（1）求解 $y=(y')^2-xy'+\frac{x^2}{2}$

（2） $f''(x)+f'(x)g(x)-f(x)=0$ ，g(x)为任意给定函数，证明：若f(a)=f(b)=0，则f(x)在[a,b]恒为0

六，导数相关

（1）求 y=arctan x 在 x=0 处的 n 阶导数

解: $\left(1+x^{2}\right) y'=1$
由莱布伦茨公式, $n(n-1) y^{(n-1)}+2n x y^{(n)}+\left(1+x^{2}\right) y^{(n+1)}=0$
so 在 x=0 处, $y^{(n+1)}=-n(n-1) y^{(n-1)}$
so 当 n 为偶数时, $y^{(n)}{ }_{(0)}=0$
当 n 为奇数时, $y^{(n)}{ }_{(0)}=(-1)^{\frac{n-1}{2}} \cdot(n-1) !$

（2）f(x)在[0,2]上二阶可导，∀x∈[0,2]，|f(x)|<=1, |f''(x)|<=1, 证明∀x，|f'(x)|<=2

（3）f(x)在点 $x_0$ 可导， $a_n<x_0<b_n,\,\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=x_0$ ，证明： $\lim_{n\to\infty}\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}=f'(x_0)$

（4）设f(x,y)在 $D:x^2+y^2\leq R^2$ 上连续， $x\frac{\partial f}{\partial x}+ky\frac{\partial f}{\partial y}=0$ ，其中k是正整数，证明：f为常数

（5）u=f(z)，z由方程z=x+yφ(z)确定，φ和f任意次可微，证明： $\frac{\partial ^n u}{\partial y^n}=\frac{\partial ^{n-1}}{\partial x^{n-1}}\left ( \varphi ^n(z)\frac{\partial u}{\partial x}\right )$

（6）设f(x,y)有一阶连续偏导数，且f(0,1)=f(1,0)

证明：在圆x^2+y^2=1上存在2个不同的点满足方程 $y\frac{\partial f}{\partial x}=x\frac{\partial f}{\partial y}$

（7）设f(x)在 $(0,+\infty)$ 内具有二阶连续导数， $|f''+2xf'+(x^2+1)f|\leq 1$ ，证明 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$

（8）f(x)是在 $(-\infty,+\infty)$ 上导数连续的有界函数，|f(x)-f'(x)|<=1，证明：|f(x)|<=1

七，易错题

（1）求a,b，使 $\lim_{x\to 0 }\left ( \frac{a}{x^2}+\frac{1}{x^4}+\frac{b}{x^5}\int _0^xe^{-t^2}dt \right )$ 存在

（2）F(0)>0, F'(0)=c, 求 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{F(1-cos\, x)}{tan(x^2)}$

（3）∀ x>0,y>0 都有f(xy)=xf(y)+yf(x), f'(1)=4, 求f(x)

（4）设 $f(x)=\left\{\begin{matrix} x+\pi ,\, -\pi \leq x<0\\ x-\pi ,\, 0 \leq x<\pi\, \, \, \, \, \end{matrix}\right.$ , 则f(x)的以2π为周期的Fourier级数在[-π，π]上的和函数为

八，难题

1，设f(x)在[a,b]上具有连续导数，证明：

$\lim_{n\rightarrow \infty }n\left ( \int _a^bf(x)dx-\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^nf(a+k(b-a)/n) \right )=\frac{b-a}{2}(f(a)-f(b))$

2，设f(x)在[a,b]上具有二阶导数，证明 $\exists\xi\in[a,b],\,\int_a^bf(x)dx=(b-a)f(\frac{a+b}{2})+\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)$

3，f(x)周期为π，g(x)周期为1，f(x)、g(x)连续， $\lim_{x\to\infty }f(x)-g(x)=0$ ，证明f(x)=g(x)

4，求 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^n x\,sin\,nx\,dx$

5，设f(x)在[0,1]上可微，f(0)=0,f(1)=1， $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ 为n个正数，证明：存在(0,1)内n个不等的数 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n,\,\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i}{f'(\varepsilon_i)}=\sum_{i=1}^n\lambda_i$

6，设f(x)在[0,1]上连续可微，证明 $|f(x)|\leq \int_0^1(|f(x)|+|f'(x)|)dx$

7，设f(x)在[a,b]上连续，证明 $\lim_{n\to\infty}\int_a^bf(x)sin \,nx \,dx=0$

8，设 $f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0,\,n\geq 2$ ，其中 $a_k=0,1\leq k\leq n-1$ ，当i不为k时， $a_i\neq 0$

且f(x)有n个不同的实根，证明 $a_{k-1}a_{k+1}<0$

九，解题技巧

1，逐项求导法（生成函数法）

（1） $a_n=\int_{-1}^1\frac{x^{2n}}{1+e^x}dx$ ，求 $\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n$

（2）求解y''-2xy'-4y=0, y(0)=0,y'(0)=1

2，交换求和顺序法

（1）求 $\sum_{n>0}\frac{1}{(n+1)(n+2)}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})$

（2）求 $\sum _{m,n>0,m\neq n}\frac{1}{mn|m-n|}$

（3）求 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})$

（4）黎曼zeta函数 $\zeta(k)=1+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k}+...$ ，证明 $\sum_{k\geq 2}(\zeta(k)-1)=1$

3，特殊的极坐标用法

（1）f(x,y)可微， $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=0$ ，证明：f为常数

（2）f(x,y)可微， $\frac{1}{x}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{y}\frac{\partial f}{\partial y$ ，证明：f在极坐标中是关于r的函数

4，定义法

（1） $a_n>0,\,\lim_{n\to\infty}(\frac{1+a_{n+1}}{a_n})^n=A$ ，证明A>=e

（2）设f(x)在 $[0,+\infty)$ 内可微，且 $\lim_{n\to\infty}(f(x)+f'(x))=0$ ，证明 $\lim_{n\to\infty}f(x)=0$

（3）证明 $\lim_{n\to\infty}\int_0^{2\pi}f(x)|sin\,nx|dx=\frac{2}{\pi}\int_0^{2\pi}f(x)dx$ ，其中f(x)连续

（4）f(x)、g(x)在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且周期为1，求证 $\lim_{n\to\infty}\int_0^1f(x)g(nx)dx=\int_0^1f(x)dx\int_0^1g(x)dx$

5，其他特殊方法

（1） $x=y(x-y)^2$ ，求 $\int\frac{dx}{x-3y}$

（2）1<f(x)<3，证明 $\int_0^1f(x)dx\int_0^1\frac{1}{f(x)}dx<\frac{4}{3}$

（3）求 $I=\int_0^\pi\frac{q-cosx}{1-2qcosx+q^2}dx$

（4）f(u)连续， $k=\sqrt{a^2+b^2+c^2}>0,\Omega:x^2+y^2+z^2\leq1,\,I=\iiint_\Omega f(ax+by+cz)dxdydz$ ，证明 $I=\pi\int_{-1}^1(1-u^2)f(ku)du$

（5）求 $\int_0^\pi ln(1-2acosx+a^2)dx$

十，反常规题

1， $f(x)=\int_0^x\left ( 1+\frac{x-t}{1!}+\frac{(x-t)^2}{2!}+...+\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} \right )e^{nt}dt$ ，求 $f^{(n)}(x)$

十一，其他题目

1，设f(x)在 $[0,+\infty)$ 上连续， $\int_0^{+\infty} f(x)dx$ 收敛，求 $\lim_{y\to+\infty}\frac{1}{y}\int_0^yxf(x)dx$

2，证明不存在可导的f(x)， $f(f(x))=1+x^2+x^4-x^3-x^5$

3，f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导， $0\leq a<b\leq \frac{\pi}{2}$ ，证明： $\exists\varepsilon ,\eta \in(a,b),f'(\eta)tan\frac{a+b}{2}=f'(\varepsilon )\frac{sin\,\eta}{cos\,\varepsilon }$

4，f''(x)连续，f''(x)>0, f(0)=f'(0)=0, u=x-f(x)/f'(x)，求 $\lim_{x\to0^+}\frac{\int_0^uf(t)dt}{\int_0^xf(t)dt}$

5，求 $\int \frac{e^x(1+sin\, x)}{cos\, x}dx$

6，f(x)在[a,b]上连续， $\int_a^bf(x)dx=0,\,\int_a^b xf(x)dx=0$ ，证明 $\exists x_1,x_2,x1\neq x_2,f(x_1)=f(x_2)=0$

7， $f(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \,(0\leq x\leq 1)$ ，证明：f(x)+f(1-x)=f(1)-lnxln(1-x)

8，设f(x)在[a,b]上具有二阶连续导数，f''(x)<0, f(a)=f(b)=0,

证明：（1）当 $x\in(a,b)$ 时，f(x)>0 （2） $\int_a^b\left | \frac{f''(x)}{f(x)} \right |dx>\frac{4}{b-a}$

9，f(x)在 $[1,+\infty)$ 上有连续的二阶导数，f'(1)=1,f(1)=0,且二元函数 $z=(x^2+y^2)f(x^2+y^2)$ 满足 $\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2z}{\partial y^2}=0$ ，求f(x)最大值

10，设f可微， $\frac{\partial f}{\partial x}=-f,\, \lim_{n\to\infty}\left ( \frac{f(0,y+\frac{1}{n})}{f(0,y)} \right )^n=e^{cot\,y},\,f(0,\frac{\pi}{2})=1$ ，求f

11，设f(t)在 $(0,+\infty)$ 上有连续的二阶导数，f(1)=0, f'(1)=1, $u=f(\sqrt{x^2+y^2+z^2}),\,\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial z^2}=0$ ，求f(t)

12，设f(x,y)在 $D:x^2+y^2\leq1$ 上有二阶连续偏导，且 $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=e^{-(x^2+y^2)}$ ，证明： $\iint_{D}(x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y})dxdy=\frac{\pi}{2e}$

13， $\forall x,y,f(x+y)=e^yf(x)+ae^xf(y),f'(0)=1$ ，求a和f(x)

14，f(x)在[0,1]上连续， $m=\int_0^1f(x)dx$ ，求 $\int_0^1\int_x^1\int_x^yf(x)f(y)f(z)dxdydz$

15，设f(x)是具有三阶连续导数的实函数， $\forall x,f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0,f'''(x)<f(x)$ ，证明： $\forall x,f'(x)<2f(x)$

16， ${x_n}$ 满足 $x_n\geq 0,\,x_{m+n}\leq x_m+x_n$ ，求证 $\{\frac{x_n}{n}\}$ 收敛

17，f(x,y)分别关于x,y连续，且关于y单调，证明：f连续

18，f(x)在[a,b]上有连续的导数，f(a)=0，证明 $\int _a^b f^2(x)dx\leq \frac{(b-a)^2}{2} \int _a^b (f'(x))^2dx$

19，f(x)、g(x)均为[a,b]上的连续增函数，证明 $\int_a^bf(x)dx\int_a^bg(x)dx\leq (b-a)\int_a^bf(x)g(x)dx$

20，设 $a_1,b_1$ 是任意实数， $a_n=\int_0^1max(b_{n-1},x)dx,b_n=\int_0^1min(a_{n-1},x)dx,n=2,3,4...$ ，求 $\lim_{n\to\infty}a_n$ 和 $\lim_{n\to\infty}b_n$

21，（1）若 $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ ，证明 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+...a_n}{n}=a$

（2）若存在p为正整数， $\lim_{n\to\infty}(a_{n+p}-a_n)=\lambda$ ，证明 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\frac{\lambda}{p}$

22，f(x)在[a,b]上连续， $\int_a^xf(t)dt=(x-a)f(\varepsilon ),\,a\leq \varepsilon \leq x \leq b$ ，若f'(a)存在且不为0，求 $\lim_{x\to a^{+}}\frac{\varepsilon -a}{x-a}$

23，f(x)在 $x_0$ 的邻域内n阶可导， $f^{(2)}(x_0)=f^{(3)}(x_0)=...=f^{(n-1)}(x_0)=0,f^{(n)}(x_0)\neq 0$ , $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0+h\theta(h)),0<\theta(h)<1$ ，