一个二元一阶微分方程组引发的思考

一般来说，解二元一阶微分方程组有2种方法，消元法和求导法
（1）如果方程组是2个形如 $\mathrm{a}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+b\frac{dy}{dt}+f(x,y)=0$ 的方程组成，那么可以使用消元法消去t，得到的特解的形式是关于x和y的隐函数，即g(x,y)=0
（2）如果方程组是二元一阶常系数线性微分方程组，即2个形如 $\mathrm{a}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+b\frac{dy}{dt}+\mathrm{c}x+dy=f(t)$ 的方程组成，那么可以使用求导法消去x或者y，得到的特解的形式是g(x,t)=0，h(y,t)=0
这2种形式就涵盖了常见的方程组，特殊的方程组这里不做讨论
一般来说，对于一个特定的方程组，只能选择其中特定的一种解法，得到的解的形式也是固定的，用另外一种解法是几乎解不出来的，2种形式的特解一般也很难互相转化，除非表达式非常非常简单。
下面举例说明如何解：
解方程
$\{\begin{array}{l}2\frac{dx}{dt}-4x+\frac{dy}{dt}-y=e^y(1)\\ \frac{dx}{dt}+3x+y=0(2)\end{array}$
这是最新一期网上高数测试的题
很明显是第一种形式, $\mathrm{a}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+b\frac{dy}{dt}+f(x,y)=0,$ 用消元法首先解出 $\mathrm{dx}/\mathrm{dt}$ 和 $\mathrm{dy}/\mathrm{dt},$$\frac{dx}{dt}=-3x-y,\frac{dy}{dt}=e^y+10x+3y$
然后两式相除， $\frac{dy}{dx}=\frac{e^y+10x+3y}{-3x-y}$
然后化成全微分方程 $(-3\mathrm{x}-y)dy=\left(e^y+10x+3y\right)dx$
$$\text{ 即 }-e^{y}dx=d\left(5x^2+3xy+\frac{1}{2}{y}^2\right)$$
应该是无解的，所以我合理的怀疑应该是打印错了，$e^y$ 应该改成 $e^{\mathrm{x}},$ 这样的话，
$-e^{x}dx=d\left(5x^2+3xy+\frac{1}{2}{y}^2\right)$ 的解为 $5x^2+3xy+\frac{1}{2}{y}^2+e^x=C$ 其中 $C$ 为任意常数
然而候选答案不是这样的，候选答案是第二种形式，
所以 $e^y$ 其实应该改成 $e^{\mathrm{t}}$
$\{\begin{array}{l}2\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}-4\mathrm{x}+\frac{dy}{dt}-y=e^{\mathrm{t}}(1)\\ \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+3\mathrm{x}+y=0(2)\end{array}$
对 (2) 求导得 $\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{x}}{{\mathrm{dt}}^2}+3\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}+\frac{dy}{dt}=0$
$(1)+(2)-(3)$ 得 $\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{x}}{{\mathrm{dt}}^2}=-\mathrm{x}-e^t$
由此解出 x，再根据（2）即可解出 y