P1226 快速幂||取余运算

题目描述

给你三个整数 a,b,p求 $a^b$ mod $p$

输入格式

输入只有一行三个整数，分别代表 a,b,pa,b,p。

输出格式

输出一行一个字符串 $a^b$ mod $p$ =s，其中 a,b,p 分别为题目给定的值， s为运算结果。

输入输出样例

输入

2 10 9

输出

2^10 mod 9=7
说明/提示
样例解释
$2^{10}$ = 1024
1024 mod 9 = 7

数据规模与约定

对于 100% 的数据，保证 $0<=a,b<2^{31}$ ，a+b>0, $2<=p<2^{31}$

快速幂
快速幂算法是建立在二进制的按权展开求和的方法的基础上的，在二进制中我们先将二迸制的数写成加权系数展开式，而后根据十进制的加法规则进行求和得到原来的数，如10 二进制码为1010
可由
$0\ast 2^0+1\ast 2^1+0\ast 2^2+1\ast 2^3$
得到，我们通过思考将其和我们的幂的运算进行结合，便可得到一下式子：
$3^{(0\ast 2^0+1\ast 2^1+0\ast 2^2+1\ast 2^3)}$

这时我们发现循环次数减少了一半多，指数系数为0可以不运算。最终我们可以得到以下式子：
$3^{(2^1+2^3)}$=$3^{2^1}\ast 3^{2^3}$
同底数密相乘，底数不变，指数相加

int quick_pow(int a,int n)
{
     int ans=1;
     int base=a;
     //n代表指数，对其一边进行二进制转化，一边计算
     while (n>0)
     {
     	//低位开始的二进制转化，如果此位当前是1
         if(n%2==1)
             ans=ans*base;
        //每一位都进行一次乘积
        base=base*base;
        n=n/2;
     }
     return ans; 
}

快速幂的模运算
$(a\ast b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=((a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c)\ast (b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c$
再而推导出后面公式:
$(a^b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c=(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c{)}^b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}c$

#include<bits/c++io.h>
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
ll quick_pow(ll a,ll n,ll mod)
{
    ll ans=1,base=a%mod;
    while (n>0)
    {
        if(n%2==1)
            ans=(ans*base)%mod;

        base=(base*base)%mod;
        n=n/2;
    }
    ans=ans%mod;
    return ans;
}
int main()
{
    ll a,n,mod;
    cin>>a>>n>>mod;
    printf("%ld^%ld mod %ld=%ld",a,n,mod,quick_pow(a,n,mod));
    return 0;
}