C语言 数据结构与算法---二叉树

一. 二叉树的性质

1. 满二叉树

在一棵二叉树上，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

特点：

• 叶子只能出现在最下一层，出现在其它层就不可能达到平衡
• 非叶子结点的度一定为2
• 在同样深度的二叉树中，满二叉树结点个数最多，叶子数最多

2. 完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1<=i<=n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中的位置完全相同，则称这棵二叉树为完全二叉树。

特点：

• 叶子节点只能出现在最下两层
• 最下层的叶子一定集中在左部连续位置
• 倒数两层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置
• 如果结点度为 1 ，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况
• 同样结点的二叉树，完全二叉树深度最小

3. 二叉树的性质

1. 在二叉树的第ｉ（ｉ>=１）层最多有２＾(ｉ - １)个结点。
2. 深度为k(k>=0)的二叉树最少有k个结点，最多有２＾ｋ－１个结点。
3. 对于任一棵非空二叉树，若其叶结点数为n0，度为2的非叶结点数为n2，则ｎ0 = ｎ2 ＋１。
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度为int_UP（log(2，ｎ+1)）。
5. 如果将一棵有n个结点的完全二叉树自顶向下，同一层自左向右连续给结点编号１，２，３，．．．．．．，ｎ，然后按此结点编号将树中各结点顺序的存放于一个一维数组，并简称编号为i的结点为结点i（ ｉ>=１ && ｉ<=ｎ）,则有以下关系：
   （1）若 ｉ= 1，则结点 i 为根，无父结点；若 ｉ> 1，则结点 i 的父结点为结点int_DOWN（ｉ / ２）;
   （2）若 ２＊ｉ <= ｎ，则结点 ｉ 的左子女为结点２＊ｉ；
   （3）若２＊ｉ＜＝ｎ，则结点ｉ的右子女为结点２＊ｉ＋１；
   （4）若结点编号ｉ为奇数，且ｉ！＝１，它处于右兄弟位置，则它的左兄弟为结点ｉ－１；
   （5）若结点编号ｉ为偶数，且ｉ！＝ｎ，它处于左兄弟位置，则它的右兄弟为结点ｉ＋１；
   （6）结点ｉ所在的层次为int_DOWN（log（2，ｉ））＋１。

二. 二叉链表

1. 二叉树的结构

typedef char TElemType;

typedef struct BiTNode
{
	TElemType data;
	struct BiTNode* lchild, * rchild;  //左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;

2. 二叉树的遍历

采用函数递归的思想

前序遍历：
若二叉树为空，则空操作返回，
否则： 根结点->左子树->右子树

void Preorder(BiTree T)
{
	if (T == NULL)
	{
		return;
	}

	printf("%c",T->data);
	Preorder(T->lchild);
	Preorder(T->rchild);
}

中序遍历：
若二叉树为空，则空操作返回，
否则：左子树->根结点->右子树

void Inorder(BiTree T)
{
	if (T == NULL)
	{
		return;
	}

	Inorder(T->lchild);
	printf("%c",T->data);
	Inorder(T->rchild);
}

后序遍历：
若二叉树为空，则空操作返回，
否则：左子树->右子树->根结点

void Postorder(BiTree T)
{
	if (T == NULL)
	{
		return;
	}

	Postorder(T->lchild);
	Postorder(T->rchild);
	printf("%c", T->data);
}

3. 二叉树的建立

为了确定每个结点是否有左右孩子，我们将二叉树中每个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一特定值如 “#”

//按前序输入
void CreatBiTree(BiTree *T) //二级指针
{
	TElemType ch;
	scanf("%c",&ch);
	if (ch == '#')
	{
		*T = NULL;
	}
	else
	{
		*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
		if (!*T)
		{
			return;
		}

		(*T)->data = ch; //生成根结点
		CreatBiTree(&(*T)->lchild);//构造左子树
		CreatBiTree(&(*T)->rchild);//构造右子树
	}
}

利用字符串建立二叉树：

//T：二级指针；  str：传入的字符串；  n：当前字符串的位数
int CreatBiTree2(BiTree* T,char *str,int n)
{
	char ch = str[n];
	n++;
	if (str[n] != '\0')  //字符串末尾
	{
		if (ch == '#')
		{
			*T = NULL;
		}
		else
		{
			*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTree));
			if (!*T)
			{
				return;
			}

			(*T)->data = ch; //生成根结点
			n = CreatBiTree2(&(*T)->lchild,str,n);//构造左子树
			n = CreatBiTree2(&(*T)->rchild,str,n);//构造右子树
		}
	}
	return n;
}

若要按照后序或中序输入，只需调整构造根结点与左右子树的顺序即可

4. 求二叉树叶子结点

int num = 0;
void CalculateTree(BiTree T)
{
	if(!T)
	{
	    return ;
	}
	//若为叶子
	if(!T->lchild && !T->rchild)
	{
	    num++;
	}
	//左子树叶子结点数目
	CalculateTree(T->lchild);
	//右子树叶子结点数目
	CalculateTree(T->rchild);	
}

或

int Num(BiTree T)
{
    int num,num1,num2;
    if(T==NULL)
    {
        num=0;
    }
    else
    {
        if(T->lchild==NULL&&T->rchild==NULL)
        {
            num=1;
        }
        else
        {
            num1=Num(T->lchild);
            num2=Num(T->rchild);
            num=num1+num2;
        }
    }
    return num;
}

5. 求二叉树的高度

int CaculateTreDepth(BiTree T){

if(T == NULL)
{
	return 0;
}

int depth = 0;
int leftDepth = CaculateTreDepth(root->lchild);
int rightDepth = CaculateTreDepth(root->rchild);
depth = leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;

return depth;
}