Kattis - heapsoffun

题意

一棵树，每个点有个取值范围，随机取值(实数)，最后树是一个小根堆的概率

题解

取值范围是很大的，无法枚举，这个时候：
我们可以把$f_u(x)$定义成：$u$的子树合法且$u$取$x$的概率(准确说是概率密度);
$f_u(x)=\frac{1}{b_u}$[叶子节点]

这个是无法直接做的，我们考虑概率分布函数$F_u(x)=\int f_u(x)$，表示的是$u$的子树合法且$u$取值$\le x$的概率。

知道这个其实就可以尝试做了，但是由于还是有$x$，而且$x$显然是较大的，并且主要是通过$f_u$和$F_u(x)$无法得知如何从孩子节点的状态转移过来(快速转移)，$u$点$\le x$，子树并不知道是多少。

这个时候我们再定义一个函数$G_u(x)$:表示合法且$u\ge x$的概率。
$G_u(x)=F_u(b_u)-F_u(x)$.
显然有：$f_u(x)=\frac{1}{b_u}\ast \prod G_{son}(x)$保证孩子节点都比$f_u$大

最后结果是$G_{root}(0)$.
注意一个细节，我们计算的时候$x$不应该超过下面的最小(最大值)，否则会出现错误，所以我们先计算出$f_u(x)\to F_u(x)$，计算$G_u(x)$的时候，要考虑$x\le \min (\max )$，因为这个时候需要代值，其他时候可以直接计算多项式，而不是先代值，这样就会比较简单。
显然这些函数都是多项式(积分得到的)，所以模拟多项式即可。

int n,a[maxn],b[maxn];
int inv[maxn];
vector<int>G[maxn];
//inv[0]=inv[1]=1;
//for(int i=2;i<=300;++i) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
struct poly{
    int a[maxn],deg;
    poly(){memset(a,0,sizeof(a));}
    poly(int x){memset(a,0,sizeof a),a[0]=x,deg=1;}
    int&operator[](int x){return a[x];}
    void inc(int&a,int b){a+=b-mod,a+=a>>31&mod;}//*2
};
void inc(int&a,int b){a+=b-mod,a+=a>>31&mod;}
int sub(int a,int b){return a-=b,a+(a>>31&mod);}
int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
int pow(int a,int k){int r=1;for(;k;k>>=1,a=mul(a,a))if(k&1)r=mul(a,r);return r;}
poly sub(poly f,poly g){
    poly h;h.deg=std::max(f.deg,g.deg);
    for(int i=0;i<h.deg;++i) h[i]=sub(f[i],g[i]);
    return h;
}
poly Int(poly f){
    poly g;g.deg=f.deg+1;
    for(int i=0;i<f.deg;++i) g[i+1]=mul(f[i],inv[i+1]);
    return g;
}
poly mul(poly f,poly g){
    poly h;h.deg=f.deg+g.deg-1;
    for(int i=0;i<f.deg;++i) for(int j=0;j<g.deg;++j) inc(h[i+j],mul(f[i],g[j]));
    return h;
}

int cal(poly f,int x){
    int s=0;
    for(int i=0,t=1;i<f.deg;++i,t=mul(t,x)) inc(s,mul(t,f[i]));
    return s;
}

poly dfs(int u,int f){
    poly res=poly(pow(b[u],mod-2));
    a[u]=b[u];
    for(int i=0,v;i<G[u].size();i++){
        v=G[u][i];
        if(v==f)continue;
        res=mul(res,dfs(v,u));//求fu
        a[u]=min(a[u],a[v]);
    }
    res=Int(res);//求Fu
    res=sub(poly(cal(res,a[u])),res);
    return res;
}