快速理解树链剖分

初阶

关键在于处理如何处理链的信息。

前置知识

首先我们定义轻重链：
孩子结点的子树最大的作为重儿子，每次优先跑重儿子，可以得到一条重链。
重链的$dfs$序显然是连续的，轻链就是自己。
【可以证明从根结点到叶子节点的路径上，轻重链的个数不超过$logn$，但我不会】

灰色是原来边，红色是重链，黑色是轻链，轻链我个人觉得需要记录的只有叶子节点。因为很明显可以发现$2\to 3$这条轻链的两个点都在别的链上可以记录，所以接下来我们可以认为轻链只有自己，$2\to 3$这种可以当做没有。

这就代表我们可以通过这个做文章了。
对于两个结点，我们要对其树上路径进行处理，就是把这些路径分成多个链进行处理，因为链都是连续的，所以可以直接当线性结构做(线段树等)

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具体操作

具体怎么实现分成多个链呢，我们从头开始处理：
1、首先得到重儿子

void dfs1(int u,int pre){
    dep[u]=dep[pre]+1;
    sz[u]=1,fa[u]=pre;
    int s=0;
    for(auto v:G[u]){
        if(v==pre)continue;
        dfs1(v,u);
        sz[u]+=sz[v];
        if(sz[v]>s)son[u]=v,s=sz[v];
    }
}

2、通过重儿子跑出重链,对于每个点存下自己所在链的链头$top[i]$,轻链就是自己

void dfs2(int u,int tr_top){
    dfn[u]=++cnt;
    top[u]=tr_top;
    if(son[u])dfs2(son[u],tr_top);
    for(auto v:G[u]){
        if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
        dfs2(v,v);
    }
}

3、对于两个结点，分别往上跳，每次跳的时候先跳链头深度低的，最后在一条链的时候结束。先跳低的能保证不会直接跳出$lca$的位置，因为只有重链会跳出去，而一个是重链，另一个必然是轻链(或者链头深度低的重链)，所以会先跳另一个，直到跳到这个重链上

int query(int l,int r,int id){
    int ans=0;
    while(top[l]!=top[r]){
        if(dep[top[l]]<dep[top[r]])swap(l,r);
        ans+=query(dfn[top[l]],dfn[l],now);
        l=fa[top[l]];
    }
    if(dfn[l]<=dfn[r])ans+=query(dfn[l],dfn[r],now);
    else ans+=query(dfn[l],dfn[r],now);
    return ans;
}

这里的$query$就是具体操作了，query换成更新操作也是一样的，因为这段操作实际上只是将路径拆分成链而已。

例题

牛客练习赛$F$: 题解