概率论【离散型随机变量】--猴博士爱讲课

本篇文章探讨了离散型随机变量的相关概念,包括如何求解分布律中的未知数、如何根据X的分布律推导Y的分布律,以及在(X,Y)的联合分布律下如何写出Z的分布律和边缘分布律。当X与Y相互独立时,我们研究了它们的联合分布特点。此外,文章还详细讲解了如何根据分布律计算离散型随机变量的数学期望和方差,以及一维随机变量函数的分布特性。

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第二课 离散型随机变量

1/6 求分布律里的未知数

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2/6 根据X的分布律写Y的分布律

一维随机变量函数的分布

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注意

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3/6 根据(X,Y) 的分布律写Z的分布律

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4/6 根据(X,Y)的分布律写边缘分布律

边缘分布

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5/6 X与Y相互独立时的联合分布律

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6/6 根据分布律求期望、方差

①离散型随机变量的数学期望

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②离散型随机变量的方差

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③一维随机变量函数的分布

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离散型随机变量是在概率论中占有重要地位的一类随机变量,其可能取得的值是有限或者无限可数的集合。以下是关于离散型随机变量的一些基本概念及其性质。 ### 定义 离散型随机变量是指可以取一系列分离数值的随机变量。这些数值通常是整数但不局限于此;只要它们之间存在明确的空间间隔即可。例如掷骰子的结果就是一个典型的离散型随机变量例子,因为结果只能是一系列特定的整数值之一(1, 2, 3, 4, 5 或者 6)。 ### 数学定义 设$(\Omega,\mathcal{F},P)$是一个概率空间,则$\Omega$上的实函数$X:\Omega \to \mathbb{R}$称为离散型随机变量,若它的像集${x_1,x_2,...} = X(\Omega)\subset \mathbb{R}$至多为可数无穷或有限,并且对于任意$x_i \in X(\Omega)$都有对应的事件$\{\omega:X(\omega)=x_i\}\in\mathcal{F}$使得$P(X=x_i)>0$成立。 ### 主要性质 - **分布律**:描述了离散型随机变量所有可能取值的概率大小。记作$p(x_i) = P(X = x_i), i=1,2...$, 其满足两个条件: - 对所有的$i$,有$0 \leq p(x_i) \leq 1$ - $\sum_{i}p(x_i) = 1$ - **期望值 (数学期望)**:表示的是长期平均而言,我们预期从这个随机试验得到什么结果。计算公式如下: $$E[X] = \sum_{i}x_ip(x_i)$$ - **方差**:衡量数据分散程度的一个度量,用于量化随机变量与其均值之间的偏差平方的加权平均。方差的计算方式如下: $$Var(X) = E[(X-E[X])^2]=\sum_{i}(x_i-E[X])^2p(x_i)$$ - **标准差**:方差的正平方根,提供了以相同单位测量的数据点相对于均值的波动情况。 $$\sigma_X=\sqrt{Var(X)}$$ ### 示例 考虑一个简单的公平硬币投掷实验,其中正面朝上被赋值为1,反面朝下则为0。这是一个伯努利试验的例子,而这样的单次试验所形成的随机变量即为离散型随机变量。假设每次抛出正面和反面的概率都是相等的,那么我们可以写出此随机变量的分布律为: | 结果 | 概率 | | --- | ---- | | 0 | 1/2 | | 1 | 1/2 | 在这个情况下,期望值就是$E[X]=(0\times1/2)+(1\times1/2)=0.5$。
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