超详细的排队论建模

排队系统

顾客输入过程

• 顾客源（总体）：有限/无限
• 顾客到达方式：逐个/逐批（主要是逐个）
• 顾客到达间隔：随机型/确定型
• 顾客到达：相互独立/相互关联
• 输入过程：平稳/非平稳

排队结构与排队规则

• 顾客排队方式：等待制/即时制
• 排队系统容量：有限制/无限制
• 排队队列数目：单列/双列
• 中途是否退出：允许/禁止
• 是否允许列间转移：允许/禁止

服务机构与服务规则

• 服务台数量：单个/多数
• 服务台排列形式：并联/串联/混合
• 服务台服务方式：逐个/逐批
• 服务时间分布：随机型/确定型
• 服务时间分布是否平稳：平稳/非平稳

服务台给顾客的服务顺序

• 先来先服务
• 后到先服务
• 随机服务
• 优先服务

达到间隔与服务时间的典型分布

• 泊松分布 $ M$
• 负指数分布 $ M$
• k阶埃尔朗分布 $E_K$
• 确定型分布 $ D$
• 一般服务时间分布 $ G$

排队模型

系统运行状态参数

• 系统状态$N(t)$

  排队系统在t时刻的全部顾客数$N$ ,包括“排队顾客数”和“正在被服务顾客数”

• 系统状态概率

  a.瞬间概率$P_n（t）$ ：系统t时刻的系统状态$N(t)=n$ 的概率

  b.稳态概率$P_n$ : $P_n= \lim_{n\rightarrow+\infty} P_n(t) $ .排队系统运行了一定长的时间后系统状态的概率不再随时间t变化

系统运行指标参数(评价参数)

• 队长$L_s$

  系统中的顾客数（n）期望值记为$L_s$ （排队中以及服务中）

• 排队长$L_q$

  系统中排队等待服务的顾客数，期望值为$L_q$

• 逗留时间$W_s$

  一个顾客在系统中停留的总时间，期望为$W_s$

• 等待时间$W_q$

  一个顾客在系统中的排队等待时间，期望为$W_q$

  于是有$W_s$ =$W_q$ +$W_{服务}$

• 忙期

  从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次空闲的时间长度

• 忙期服务量

  一个忙期内系统平均完成服务的顾客数

• 损失率

  顾客到达排队系统，未接受服务而离开的概率

• 服务强度：$\rho =\lambda /\mu s$

  $\lambda$指单位时间到达排队系统的人数， s指服务台的数量，$\mu$ 指单位时间能够服务的顾客数

泊松流与泊松分布

一般我们认为顾客达到和顾客服务时间的概率是按泊松流的概率分布来的

泊松流满足三个条件：

1.每一时段到达系统的顾客数相互独立，即无后效性

2.在充分小的时间间隔内$ [t,t+\Delta t]$，到达一个顾客的概率与时间t无关，仅与时间间隔成正比，有$P_{(t,t+\Delta t)}=\lambda\Delta t+\omicron(\Delta t)$ ,即平稳性

3.对于充分小的时间间隔$ [t,t+\Delta t]$ ，两个及以上的顾客到达的概率可忽略不计，即普通性

泊松流到达的间隔服从负指数分布

• 顾客到达间隔T的概率密度为：
  $$f_T\text{（}t\text{）}=\{\begin{array}{l}\lambda e\stackrel{-\lambda t}{},t⩾0\\ 0,t<0\end{array}$$

• 顾客到达间隔T的分布函数为：
  $$F_T\text{（}t\text{）}=\{\begin{array}{l}1-\lambda e\stackrel{-\lambda t}{},t⩾0\\ 0,t<0\end{array}$$
  由概率论的知识我们可以知道
  E[T]=1/λ;Var[T]=