素数的快速列举

博主近期阅读数论文章后,回顾初学VB时利用循环查找素数的经历,随手编写了两段列举素数的代码,一段是查找小于某数的所有素数,另一段是获取前n个素数,并对代码进行了详细注释。

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好久没来这里了。最近看了一些数论方面的文章,受益匪浅。想到我们初学VB时,利用循环查找素数是必修之课,随手写了两段列举素数的代码,并详细注释。自己感觉还是比较快的。 代码如下:


'*******************************************************************************
'  Target:to get all prime numbers smaller than a certain number      

'    Author:northwolves                                                                            

'   Reference:"Sieve of Eratosthenes"                                                    

 '   Createdate:2005-04-18 00:00:00                                                   

'*******************************************************************************

Sub showprime1(ByVal max As Long) 'find all prime numbers smaller than max(max>=3)

Dim p() As Long, i As Long, j As Long, number As Long, sqrtmax As Long, beprime As Boolean 'difinations

number = 1
ReDim p(1 To number)
p(1) = 2 ' the unique even prime number
Debug.Print p(1) 'show the first prime number

If max < 3 Then Exit Sub 'since we want do something

For i = 3 To max Step 2 ' skip those even number
     sqrtmax = Int(Sqr(i)) + 1 'get the largest non-self factor  of i
     beprime = True ' init
  For j = 1 To number ' try all primer numbers we have found before.
      If i Mod p(j) = 0 Then beprime = False: Exit For 'not a prime number
      If p(j) > sqrtmax Then Exit For 'unless we'll waste our time
  Next
 
  If beprime = True Then ' then it is a prime number
      number = number + 1 'add to it's count
      ReDim Preserve p(1 To number) 'define again
      p(number) = i
      Debug.Print i ' output the prime number
  End If

Next
Debug.Print "There are " & number & " prime numbers below " & max ' show some message

End Sub
Private Sub Command1_Click() ' show all prime numbers smaller than 100000
showprime1 100000
End Sub


'************************************************************************
'   Target:to get the first n prime numbers from 2,3,....       

'    Author:northwolves                                                   

'    Reference:"Sieve of Eratosthenes"                             

'   Createdate:2005-04-18 00:00:00                               

'************************************************************************

Sub showprime2(ByVal n As Long) ' get the first n(n>1) prime numbers

Dim p() As Long, i As Long, j As Long, number As Long, sqrtmax As Long, beprime As Boolean

number = 1
ReDim p(1 To number)
p(1) = 2 ' the unique even prime number
Debug.Print 2 'show the first prime number

If n < 2 Then Exit Sub 'since we want do something
i = 3
Do While number <= n
       sqrtmax = Int(Sqr(i)) + 1 'get the largest non-self factor  of max
       beprime = True ' init
    For j = 1 To number ' try all primer numbers we have found before.
   
        If i Mod p(j) = 0 Then beprime = False: Exit For 'not a prime number
        If p(j) > sqrtmax Then Exit For 'unless we'll waste our time
       
    Next
   
    If beprime = True Then ' then it is a prime number
        number = number + 1 'add to it's count
        ReDim Preserve p(1 To number) 'define again
        p(number) = i
        Debug.Print i ' output the prime number
    End If
i = i + 2 ' skip those even number
Loop

Debug.Print "The " & n & " prime Number Is " & p(number); "" ' show some message

End Sub

Private Sub Command2_Click() ' show the first 1000 prime numbers
showprime2 1000
End Sub

<think>好的,我现在需要回答用户关于机试中常用数学公式的查询。首先,我需要回顾用户提供的引用内容,看看有没有相关的数学公式信息。 用户提供了三个引用。引用[1]提到了递归和动态规划相关的内容,比如最大连续子序列和、最长递增子序列等,可能涉及递推公式。引用[2]给出了最大公约数和最小公倍数的计算方法,以及素数的判断,这些都是常见的数学问题。引用[3]是关于C++中二维向量初始化的,暂时和数学公式无关。 接下来,我需要整理机试中常见的数学公式和算法。首先想到的是数论部分,比如最大公约数、最小公倍数、素数判断,这些都是引用[2]提到的内容。然后是排列组合,比如组合数公式,可能需要快速计算或者预处理。动态规划中的递推公式,比如斐波那契数列、背包问题,引用[1]中的例子也属于这类。几何相关的公式,比如距离计算、向量运算,可能在机试题中出现。此外,快速幂算法用于高效计算幂次,矩阵快速幂用于递推关系加速,这也是常见的考点。 另外,概率统计中的期望和方差有时也会出现在题目中,比如期望的线性性质。可能还需要一些预处理技巧,比如前缀和、差分数组,这些虽然不是数学公式,但能优化计算效率。 需要注意的是,用户要求每个行内数学表达式用$...$格式,独立公式用$$...$$,所以整理时要符合格式要求。例如,最大公约数的递归公式可以写成$gcd(a,b) = gcd(b, a\%b)$,素数判断的平方根优化需要写成$i \leq \sqrt{n}$。 然后,确保每个部分都有对应的代码示例或引用标注。比如引用[2]中的gcd函数,可以对应到最大公约数部分,并在末尾添加[^2]。动态规划部分可以引用[1]中的递推思想。 最后,生成相关问题,需要围绕提到的数学公式和算法,比如如何实现快速幂、素数的筛法有哪些等。确保问题覆盖各个提到的知识点,帮助用户进一步学习。 现在需要将这些内容结构化,按照用户的要求分点列出,确保每个公式正确使用LaTeX,并添加引用。同时,检查是否有遗漏的常见公式,比如几何中的叉积、点积,或者排列组合中的排列数公式等,补充到相应部分。</think>### 机试常用数学公式与算法 #### 1. **数论基础** - **最大公约数 (GCD)** 递归公式: $$gcd(a,b) = \begin{cases} a & \text{if } b=0 \\ gcd(b, a\%b) & \text{otherwise} \end{cases}$$ 代码实现参考[^2]: ```cpp int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); } ``` - **最小公倍数 (LCM)** 公式:$lcm(a,b) = \frac{a \times b}{gcd(a,b)}$。 - **素数判定** 优化方法:只需检查$2$到$\sqrt{n}$之间的整数是否能整除$n$,即$i \leq \sqrt{n}$。 #### 2. **组合数学** - **组合数公式** 递推关系(动态规划预处理): $$C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)$$ 边界条件:$C(n,0) = 1, C(n,n) = 1$。 #### 3. **动态规划递推** - **斐波那契数列** 递推公式:$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$,初始值$f(0)=0, f(1)=1$。 - **最长公共子序列 (LCS)** 递推关系(引用动态规划思想[^1]): $$dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j-1]+1 & \text{if } s[i]=t[j] \\ \max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) & \text{otherwise} \end{cases}$$ #### 4. **几何计算** - **两点间距离** 欧氏距离公式:$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$。 - **向量叉积** 判断点位置关系:$\vec{a} \times \vec{b} = a_x b_y - a_y b_x$。 #### 5. **快速幂与矩阵快速幂** - **快速幂** 计算$a^b \mod p$: 通过二进制分解指数,时间复杂度$O(\log b)$。 ```cpp long long fast_pow(long long a, long long b, long long p) { long long res = 1; while (b) { if (b & 1) res = res * a % p; a = a * a % p; b >>= 1; } return res; } ``` #### 6. **概率与统计** - **期望的线性性** 公式:$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$,即使$X$和$Y$不独立。 #### 7. **预处理技巧** - **前缀和** 一维前缀和:$sum[i] = sum[i-1] + arr[i]$,用于区间和查询。 - **差分数组** 区间增减操作:$diff[l] += k, diff[r+1] -= k$,最后通过前缀和还原。 ---
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